Concurs telemàtic de resolució de problemes a Catalunya. SCM 2011
Problema 1
| Enunciat Un mosaic rectangular està fet de rajoles quadrades totes iguals. Totes les rajoles són blanques, excepte les de les vores, que són grises.  És possible fer un mosaic així, de manera que la quantitat necessària de rajoles grises i la de rajoles blanques per a construir-lo siguin quantitats iguals? En cas afirmatiu, haureu de donar totes les solucions del nombre necessari de rajoles blanques. |
| Solució Si indiquem com m × n les dimensions del rectangle blanc, el nombre de rajoles blanques és m·n i el de rajoles grises és 2(m+2)+2n. L'enunciat ens diu doncs que m·n = 2(m+2) + 2n. Si operem i transposem termes obtenim m·n – 2m – 2n – 4 = 0. A partir d'aquí podem escriure m·n – 2m – 2n + 4 = 8 i això és (m –2)·(n –2) = 8. Com que les descomposicions de 8 en dos factors són 8×1 = 4×2 = 2×4 = 1×8, les possibles parelles per a m × n que compleixen la condició de l'enunciat són 10 × 3, 6 × 4, 4 × 6 i 3 × 10 i com que el que és demana és el nombre de rajoles blanques, les úniques possibilitats són 30 i 24. Podeu
comentar la solució
o enviar-ne una altra proposta |
| Resultats
Respostes rebudes: 97 Han enviat la solució correcta al primer intent (2 punts): 78 persones Han enviat la solució correcta al segon intent (1 punt): 6 persones Han enviat resposta sense encert 12 persones. |