Concurs telemàtic de resolució de problemes a Catalunya. SCM 2011
Problema 1
Enunciat Un mosaic rectangular està fet de rajoles quadrades totes iguals. Totes les rajoles són blanques, excepte les de les vores, que són grises. ![]() És possible fer un mosaic així, de manera que la quantitat necessària de rajoles grises i la de rajoles blanques per a construir-lo siguin quantitats iguals? En cas afirmatiu, haureu de donar totes les solucions del nombre necessari de rajoles blanques. |
Solució Si indiquem com m × n les dimensions del rectangle blanc, el nombre de rajoles blanques és m·n i el de rajoles grises és 2(m+2)+2n. L'enunciat ens diu doncs que m·n = 2(m+2) + 2n. Si operem i transposem termes obtenim m·n – 2m – 2n – 4 = 0. A partir d'aquí podem escriure m·n – 2m – 2n + 4 = 8 i això és (m –2)·(n –2) = 8. Com que les descomposicions de 8 en dos factors són 8×1 = 4×2 = 2×4 = 1×8, les possibles parelles per a m × n que compleixen la condició de l'enunciat són 10 × 3, 6 × 4, 4 × 6 i 3 × 10 i com que el que és demana és el nombre de rajoles blanques, les úniques possibilitats són 30 i 24. Podeu
comentar la solució
o enviar-ne una altra proposta |
Resultats
Respostes rebudes: 97 Han enviat la solució correcta al primer intent (2 punts): 78 persones Han enviat la solució correcta al segon intent (1 punt): 6 persones Han enviat resposta sense encert 12 persones. |