Marató 2011

Informació sobre el problema 4

Si reviseu la solució completa del problema 0 recordareu que la xifra que no apareix és el 4 i que les xifres de la columna de les unitats han de complir C + F + I = 12, les de les desenes B + E + H = 10 i les de les centenes
A + D + G = 19.
Per tal d'assegurar-nos de no comptar dues vegades una suma que tingui els tres mateixos nombres de tres xifres com a sumands, imaginarem que escrivim sempre les xifres de les unitats en ordre creixent. Fet així, les possibilitats que tenim per a les unitats, C, F, I són 0, 3, 9 o bé 0, 5, 7 o bé 1, 2, 9, o bé 1, 3, 8, o bé 1, 5, 6 , o bé 2, 3, 7,
Es tracta d'analitzar en cada cas com podem completar les columnes de les desenes i de les centenes (amb el benentès que el 0 no pot anar a les centenes perquè els tres sumands han de ser "números de tres xifres").

Cas 0, 3, 9 per a les unitats. S'observa que només pot ser 1+2+7 per a les desenes i 5+6+8 per a les centenes. Però cada una d'aquestes ternes de xifres es pot ordenar de 6 maneres, les dues en conjunt donaran 36 sumes diferents.
Cas 0, 5, 7 per a les unitats. Ha de ser desenes 1+3+6 i centenes 2+8+9; tenim 36 sumes més
Cas 1, 2, 9 per a les unitats. Ha de ser desenes 0+3+7 i centenes 5+6+8 ; tenim 36 sumes més
Cas 1, 3, 8 a les unitats no dóna cap possibilitat!
El cas 1,5,6 en dóna dues: 0+2+8 amb 3+7+9 i 0+3+7 amb 2+8+9 (72 sumes diferents)
Queda el cas 2,3,7 per a les unitats que es completa amb 0+1+9, 5+6+8 i per tant aporta 36 sumes diferents més

Hem vist doncs que el total de sumes diferents que compleixen l'enunciat és de 216.