Informació sobre el
problema 3
- Enunciat:
Ens diuen que un quadrilàter ABCD té com a longituds dels costats AB = a, BC = b, CD = c i DA = d, i que la diagonal AC també té com a longitud un nombre enter d'unitats.
(Naturalment cal suposar que totes les longituds anteriors s'expressen en les mateixes unitats.)
Creieu que és possible que les dades que s'han indicat siguin totes correctes?
En cas afirmatiu, quina és la màxima longitud (entera) que pot tenir la diagonal AC? - Solució:
- Vegem un esquema de la situació que planteja el problema (amb les lletres que hem posat a l'enunciat general que hem indicat):
Recordem la propietat que diu que un costat d'un triangle ha de ser més petit que la suma dels altres dos i més gran que la seva diferència. Aleshores, es podrà dibuixar el triangle ABC si i només si x < a + b i alhora x > |a-b| i es podrà dibuixar el triangle ACD i, per tant, completar el quadrilàter si i només si x < c + d i alhora x > |c-d| on amb el signe | | indiquem el valor absolut.
Si existeix algun nombre x que compleixi les quatre desigualtats indicades es pot construir el quadrilàter; si algun valor enter de x compleix les quatre desigualtats serà vàlida la condició suplementària que la diagonal també tingui longitud entera. - Variants: En totes les variants que es proposaven en funció de la contrasenya es podia construir el quadrilàter i, a més, existia un únic nombre enter x que podia ser la longitud de la diagonal i complir les condicions de l'enunciat.
- AB=8; BC=9 ; CD=20;DA=5. 16.
- AB=11; BC=7; CD=22; DA=6. Resposta: 17
- AB=8; BC=25 ; CD=10; DA=9. Resposta: 18
- AB=20; BC=6 ; CD=7; DA=9. Resposta 15
- AB=8; BC=7 ; CD=4;DA=17. Resposta 14
- Les
dades del problema 3:
- Respostes rebudes: 78
- Respostes
correctes: 48
en el primer intent: 38 ; en el segon intent: 11 - Participants amb resposta incorrecta en tots dos intents: 19
- Participants
amb resposta incorrecta i que no han fet el segon intent: 10