Informació sobre el
problema 1
- Enunciat:
Quin és
l’exponent de la potència més alta
de 9 que és un divisor del resultat del producte
N =
9 ×
99
× 999 × 9999 × 99999 × 999999 × ...?
A partir
d'unes observacions rebudes pels canals indicats a la pàgina de
l'activitat es va publicar a la web una redacció alternativa d'aquest
enunciat:
Quin
és el valor més gran que pot tenir el nombre natural
n
perquè 9n sigui
un divisor de N.
- Variants
i
solucions: en funció de la contrasenya de participació, en
alguns casos
el problema es platenjava amb 6
factors; en altres casos amb 7 factors afegint-hi 9999999;
o bé amb 8 factors afegint-hi 99999999;
finalment, en altres casos es plantejava amb 9
factors, afegint-hi
999999999. Les
respostes correctes, respectivament,
són: 7, 8, 9, 11.
- Explicació.
Si N
= 9 × 99
× 999 × 9999 × 99999 × 999999 × ... i
dividim N per tants
9 com el nombre de factors que té N obtindrem 1 × 11
× 111 × 1111 × 11111 × 111111 × ....
Per tant, si f és el
nombre de factors de N,
aleshores
9 f és divisor
de N.
Com que 111 i 111111 són múltiples de 3, 111 × 111111 és
múltiple de 9; N serà doncs en tots els casos divisible com a mínim per
9f+1.
En el cas que el nombre N tingui 9 factors, aleshores apareix 111111111 que és múltiple de 9, i augmenta en 1 la solució del problema.
- Les
dades:
- Respostes rebudes: 105
- Respostes
correctes: 60
en el primer intent:
44 ; en el segon intent: 16
- Participants
amb resposta incorrecta en tots dos intents: 31
- Participants
amb resposta incorrecta i que no han fet el segon intent: 14
|