Concurs
telemàtic
ENUNCIAT DEL PROBLEMA 14
Problema
"d'explicar", de 7 punts
- Malgrat que la
proposta es puntua de 0 a 7 punts, el jurtat es reserva
la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes
i raonaments que ho facin aconsellable
- D'aquest problema caldrà enviar un fitxer
PDF: amb la
redacció de la solució raonada.
El format original del document amb l'explicació pot
ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de
passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament)
- La
resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari,
que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.
- És
molt important que llegiu les Notes sobre la redacció de la
resposta als problemes d'explicar de la Marató.
- Tenim
dos daus tetraèdrics amb les cares numerades 1, 2, 3, 4, amb el pes
perfectament equilibrat. En aquest cas hem de mirar la cara que queda
tocant a la taula si els llancem. Quin és el valor numèric que té
més probabilitat d'obtenir-se si sumem les dues cares
que queden tocant a la taula quan tirem els dos daus, i quina és
aquesta probabilitat?
Possiblement ja ho teniu clar
però com a exemple us direm que la probabilitat que la suma de les
cares dels dos daus que queden tocant a la taula sigui 3 és
1/8 que resulta de sumar la probabilitat que el primer dau
tregui un 1 i el segon un 2 (que és 1/4 · 1/4) i la
probabilitat que
el primer dau tregui un 2 i el segon un 1 (que també és 1/4 · 1/4).
- Ara
tenim dos daus tetraèdrics amb les cares numerades 1, 2, 3, 4, però amb
el pes mal repartit, de manera que l'1 té el doble de
probabilitat que les altres cares de quedar reposant sobre la taula (és
a dir que les respectives probabilitats són 0,4, 0,2, 0,2,
0,2.) Quina és, en aquest cas la suma que té més
probabilitat de ser observada, i quina és aquesta probabilitat?
- La
Glòria pensa si seria possible repartir el pes d'un dau tetraèdric
(posem per a les respectives probabilitats p(1) = a,
p(2) = b, p(3) = c, p(4) = d) per a
trucar-lo de
manera que al tirar dos d'aquests daus, idèntics, les
probabilitats de totes i cada una de les set possibles sumes (de 2 a
8) fossin iguals. Sabries explicar-li que no és
possible?
- Demostreu
que tampoc no és possible trucar dos daus de manera
diferent l'un de l'altre (posem per exemple per a un p(1) = a, p(2) = b, p(3) = c, p(4) = d i per a l'altre p(1) = e, p(2) = f, p(3) = g, p(4) = h )
perquè al tirar-los tots dos alhora totes les possibles
sumes que es poden obtenir tinguin la mateixa
probabilitat.
Per s ipot ajudar... podeu suposar que en el primer dau és
p(1) ≥ p(4) perquè de seguida podeu veure que si es compleix que
p(suma 2) = p (suma 8) = 1/7 en un dau es compolirà p(1) ≥ p(4) i
en l'altre p(1) ≤ p(4) i aleshores, a partir d'aquí, podreu arribar a
demostrar que no pot ser que es compleixin totes les igualtats següents:
p(suma 2) = p(suma3) = p(suma
4) = p(suma 5) = p(suma 6) = p(suma 7) = p(suma 8) = 1/7
Notes
- Cal
redactar ben clarament la solució de cada
apartat del problema i,
tan detallat com sigui
possible, i alhora precís (*), un camí de raonament que
porti a especificar que la solució és la indicada. La manera com
descriviu la solució pot aportar idees
interessants per a valorar.
- Aquest
concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la
resolució de problemes i, naturalment, tot i que el concurs és
individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit. Ara
bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que la redacció de
la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal,
individual.
- Heu de pensar que aquestes respostes s'envien
a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen
escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants,
però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que
l'altre, o amb alguna idea original, la comissió avaluadora
tindrà una tendència a posar-li
més punts. En aquest sentit podem afegir que la
subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una
diferència de
puntuació "a efectes de desempats".
- Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (del
món de
l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà
el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.
- Molta atenció!!! El
diccionari defineix precís
com Exactament
o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague. Si
l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, o que vol explicar coses que
es poden donar per sabudes sense dubte (com en aquest cas algun aspecte
del càlcul de probabilitats que sigui fonamentalment conegut), això pot
ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant,
pot
influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució
que
no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser
considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.
- Ja sabeu que podeu elevar
consultes a la comissió del concurs: concursosscm@gmail.com