Concurs
telemàtic
ENUNCIAT DEL PROBLEMA 15
Problema fora de concurs. Dedicat a qui li agradi fer matemàtiques
Ja s'havia enunciat que es publicaria un problema 15 de la marató. Alguns comentaris que hem rebut a la coordinació de l'activitat ens han suggerit que, finalment, sigui una proposta fora de concurs per al grup de concursants que ben segur que us agrada passar una estona resolent problemes, és a dir fent matemàtiques. Tanmateix tindreu un formulari per a comprovar l'encert de la vostra resposta
En aquest cas, a més del problema 15 teniu a la part dreta de la pàgina de la marató una visió complementària del tema. Ànim!
Seguirem amb alguns altres probemes amb aquesta mateixa finalitat.
En aquest
problema estudiarem les regions que es creen quan es
dibuixa en el pla un conjunt de rectes en què no hi hagi dues rectes
paral·leles ni tres rectes que concorrin en un mateix punt. Estudiarem
el nombre de regions que es creen i el tipus de regions (que poden ser
polígons
tancats o regions il·limitades) i l'objectiu és que trobaeu una manera
inductiva d'arribar a la solució.
a) Aquí us mostrem la situació amb quatre
rectes. Vegeu que apareixen 11 regions (3 són polígons i les altres 8
són regions obertes)
Al costat hi hem afegit una recta i passem al cas de cinc rectes. En
quant augmenta el nombre total de regions fen-ho d'aquesta manera? De
quin tipus són? Creieu
que passaria el mateix amb qualsevol recta que afegíssim al conjunt
inicial de 4 rectes?
b) Vegeu ara unes imatges que us permeten estudiar el pas de 5 rectes a
6 rectes. Quines conclusions podeu treure sobre l'augment del nombre de
regions en què es divideix el pla i de quin tipus són?
c)
Les idees anteriors es poden
generalitzar per al pas d'un nombre determinat de rectes a una recta
més. És així que us demanem que deduïu quantes regions es creen en
total al pla si hi dibuixem 15 rectes en què no hi hagi dues
rectes paral·leles ni tres que concorrin en un mateix punt.
Quantes d'aquestes regions són
polígons?
Un altre problema interessant sobre regions en el pla,
en aquest cas en un cercle.
En el problema 15 us demanem que analitzeu els nombres de regions
que es creen en el pla quan es dibuixa un conjunt de rectes en què no
n'hi ha dues de paral·leles ni tres que concorrin en el mateix punt. Tot seguit proposem un altre problema sobre regions en el pla que és un
exemple paradigmàtic que no es poden fer generalitzacions numèriques
sense estar-ne molt segur.
- Si marquem dos punts d'un circumferència i els unim, en quantes regions queda dividit el cercle? Naturalment en 2 regions.
- Si en una circumferència inscrivim un triangle el cercle queda dividit en 4 regions.
- Si en una circumferència inscrivim un quadrilàter i dibuixem les diagonals, el cercle queda dividit en 8 regions.
- Podeu comprovar que si en una circumferència inscrivim un pentàgon i dibuixem totes les diagonals el cercle queda dividit en 16 regions.
- En quantes regions quedarà dividit un cercle si hi inscrivim un hexàgon i dibuixem totes les diagonals?
Nota:
en aquest cas si l'hexàgon és regular, i també en altres casos, pot
passar que tres diagonals concorrin en un punt i una regió central que
seria un triangle "desaparegui". Estrictament, doncs, cal preguntar
quin és el nombre màxim de regions que poden aparèixer en el cas d'un
hexàgon.
Font: La geometria a secundaria (Damià Sabaté. ICE UPC)
L'autor comenta que Aquest exercici es pot anomenar "de la regió perduda"
i és interessant per a mostrar que una conjectura aparentment
clara pot deixar de ser-ho de cop i volta. Tanmateix heu de constatar
que el nom "de la regió perduda" no ve pas per la possibilitat
que alguna regió es redueixi a un punt sinó que és un resultat del tot
general. En aquest cas la llista de solucions: 2, 4, 8, 16, ....
no continua amb 32. Es pot demostrar que la resposta general
és 