Concurs telemàtic
ENUNCIAT DEL PROBLEMA 14Tercer problema "d'explicar". Problema de 7 punts (*)
- (*) Malgrat que la proposta es puntua bàsicament de 0 a 7 punts, el jurtat es reserva la possibilitat d'atorgar algunes dècimes suplementàries per a plantejaments i raonaments que ho facin aconsellable. En aquest problema això es tindrà en compte de manera molt especial pel caràcter obert del tercer apartat)
-
D'aquest problema caldrà enviar un fitxer PDF: amb la
redacció de la solució raonada.
El format original del document amb l'explicació pot ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament) - La resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.
Dues persones, A (primer jugador) i B (segon jugador), juguen amb un dau com els habituals, que les cares oposades sumen 7 punts.
En el joc hi ha un comptador de punts que comença a 0. En començar cada partida s'assenyala el nombre N de punts objectiu del joc.
Funcionament del joc:
A tira el dau i afegeix al comptador els punts de la cara superior.
B gira el dau, de manera que la cara superior passa a ser una cara lateral, i afegeix al comptador els punts que ara marca la cara superior.
I seguidament l'acció de girar el dau la van fent successivament A, B, A, B....
Guanya el jugador que en una tirada assoleix exactament N punts o també si obliga que en la tirada següent l'altre jugador sobrepassi els N punts (és a dir, que si amb la seva acció un jugador sobrepassa els N punts ell perd i l'altre guanya)
Exemples amb objectiu N=10.
Si Imaginem que A tira i li surt un 5; marcador 5 punts. A guanyarà segur si juga encertadament. Vegeu que B no té cap possibilitat d'estratègia perquè no guanyi A.
- si B triés el 6 no jugaria bé perquè el marcador passaria a 11 punts i perdria directament; guanyaria A
- si B triés el 4 tampoc no guanyaria. El marcador passaria a 9 i després A triaria l'1 i guanyaria amb el marcador a 10
- si B tria el 3, tampoc no guanyaria. El marcador passaria a 8, després A triaria el 2, marcador a 10 i guanyaria.
- B no pot triar el 2 perquè està a sota
- Finalment si B tria el 1, marcador passa a 6, després A tria el 4, marcador a 10 i guanya;
- En la tercera juada A no podrà tirar el 4 ni el 3 (a dalt i a baix)
- Si A tirés el 5 o el 6 en la tercera jugada e spassaria de 10. Guanyaria B.
- Si A tira l'1 aleshores B tira el 3 en la quarta tirada i suma 10: guanya.
- Finalment
si A tria el 2, el marcador passa a 8; , després B tria el 1 en la
quarta tirada, el marcador e sposa a 10, i com que en la següent A no
podrà triar l'1, es passarà.
Apartat 1.
a) Raoneu que si l'objectiu del joc és N = 9, si el segon jugador (B) juga bé sempre pot trobar una estraègia guanyadora, sigui el que sigui el valor que treu A en la tirada inicial del dau.
b) Estudieu si amb N=18 passa el mateix
------------
Apartat 2.
a) Ara l''objectiu és N = 7. Raoneu que si en la primera tirada A treu un 2 i després juga bé, A sempre pot trobar una estratègia guanyadora,. En canvi si A treu un 1 en la tirada inicial, aleshores si B juga bé sempre podrà trobar una estratègia guanyadora.
b) Estudieu si amb N = 16 passa el mateix.
----------------
Apartat 3.
Aquest apartat és obert i es proposa que doneu les vostres idees per a globalitzar el problema i les raoneu. Per exemple com generalitzaríeu l'apartat 1, com es completaria l'estudi dels casos de l'apartat 2, o altres situacions que cregueu interessants.
.
Observacions
- En els apartats 1 i 2 cal redactar ben clarament la solució de cada apartat del problema i,
tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament que
porti a especificar que la solució és la indicada. La manera com descriviu la solució pot aportar idees
interessants per a valorar.
- Com ja s'ha indicat l'apartat 3 és una proposta oberta. Tanmateix ja s'ha concretat una mica. "Com generalitzaríeu l'apartat 1" us pot portar a pensar altres sitaucions en què B tingui estratègia guanyadora; "com es cmpletaria l'estudi dels caos de l'apartat 2"
us pot portar a estudiar altres inicis de parida en el cas N=7 o
N=16 o altres valors que s'hi puguin associar; i natuarlment
idees pròpies.
- Aquest
concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la
resolució de problemes i, naturalment, tot i que el concurs és
individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit. Ara bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que la redacció de la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal, individual.
- Heu de pensar que aquestes respostes s'envien
a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen
escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants,
però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que
l'altre, o amb alguna idea original, la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li
més punts. En aquest sentit podem afegir que la
subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de
puntuació "a efectes de desempats".
- Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (de
l'ensenyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà
el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.
- El diccionari defineix precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague. Si
l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot
ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot
influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que
no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser
considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.
- Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs: concursosscm@gmail.com