amb el suport de  
Marató de problemes. 2023
Problema 7, problema de 7 punts

Malgrat que la proposta es puntua de 0 a 7 punts, el jurtat es reserva la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes i raonaments que ho facin aconsellable

D'aquest problema caldrà enviar la solució raonada de cada apartat.
  Exposada amb detall però amb precisió, sense explicacions innecessàries,
en un fitxer .PDF. (El format original del document amb  l'explicació pot ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament)

Aquest concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la resolució de problemes
i, naturalment, tot i que el concurs és individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit.
Ara bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que
la redacció de la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal, individual.

La resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.

a)
 En una bossa hi ha quatre boles numerades amb els nombres 4, 4, 4, 6.
Si traiem dues boles alhora de la bossa i sumem els punts, és clar que només podem obtenir com a suma 8 o 10.
Quina és la probabilitat d’obtenir cada suma si traiem les boles aleatòriament?
b)
 Estudieu si hi ha alguna altra possible numeració de quatre boles de manera que les possibles sumes de dues d'aquestes boles siguin també només 8 i 10.
En aquest cas o en aquests casos, quina és la probabilitat de cada suma?
c)
 En una bossa hi ha sis  boles numerades amb  nombres enters.
Si traiem alhora tres boles de la bossa i sumem els punts, ens diuen que només podem obtenir com a suma 16 o 18.
Quina és la probabilitat d’obtenir cada suma si traiem les tres boles aleatòriament?

d)
 Estudieu altres possibles numeracions de sis boles de manera que  només puguin sortir dues sumes quan sumem algunes d'aquestes boles de tres en tres.
Quina és, en aquests casos, la probabilitat d'obtenir cada suma?


Nota: en tots els apartats anteriors "aleatòriament" s'aplica en el sentit de  "aleatòriament, amb la mateixa probabilitat per triar cadascuma de les  boles", no pas cada número.


Notes: 
  • Cal redactar ben clarament la solució de cada apartat del problema i, tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament  que porti a especificar que  la solució és la indicada. Ja es veu que es demanen uns apartats concrets i uns altres de generalització.  La manera com descriviu la solució pot aportar idees interessants per a valorar.

  • Heu de pensar que aquestes respostes s'envien a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants, però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que l'altre, o amb alguna idea original,  la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li més punts. En aquest sentit podem afegir que  la subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de puntuació "a efectes de desempats".
  • Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (del món de l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.

  • El diccionari defineix  precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague.  Si l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.

  • Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs:   concursosscm@gmail.com