amb el suport de  
Marató de problemes. 2023
Problema 14,
com a darrer problema: de 8 punts

Malgrat que la proposta es puntua de 0 a 8 punts, el jurat es reserva la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes i raonaments que ho facin aconsellable

D'aquest problema caldrà enviar la solució raonada de cada apartat.
en un fitxer .PDF. (El format original del document amb  l'explicació pot ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament)

  L'exposició ha de ser raonada amb detall però amb precisió, sense explicacions innecessàries.
En aquest cas, si voleu emprar les propietats bàsiques de la semblança de polígons, les podeu donar per sabudes.

 Aquest concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la resolució de problemes
i, naturalment, tot i que el concurs és individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit.
Ara bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que
la redacció de la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal, individual.

 La resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.
Us demanarem alguns estudis relacionats amb un hexàgon regular  ABCDEF en què dividim la diagonal  FC  en un cert nombre de parts iguals.

a)
 Dividim la diagonal FC en vuit parts iguals mitjançant set punts P1, P2. ,..., P7. 
Tracem la recta que uneix A amb un cert punt  Pi  i  la que uneix B amb un cert punt Pj i observem que aquestes dues rectes es tallen en un punt M del costat DE, que no és cap dels vèrtexs.
Raoneu quins poden ser els punts Pi  i Pj  i, en cadascuna de les possibilitats, deduïu quina és la relació entre l'àrea del triangle  ABM  i la de l'hexàgon ABCDEF?
b)
 Ara dividim la diagonal FC en set parts iguals mitjançant sis punts P1, P2. ,..., P6. 
Tracem la recta que uneix A amb  P2  i  la que uneix B amb P4 i observem que si considerem els punts G i H que són les interseccions d'aquestes dues rectes amb el costat DE es forma un trapezi  ABHG.
Hem fet un dibuix amb el GeoGebra i ens diu que la relació entre l'àrea del trapezi ABHG i la de l'hexàgon ABCDEF  és  8/21.  Raoneu-ho.
c) Finalment dividim la diagonal FC en 23  parts iguals mitjançant  22 punts P1, P2. ,..., P22.   Estudieu quines són totes les possibilitats de  Pi  i Pj  perquè les interseccions de les rectes  APi   i   BPj    amb el costat DE, que desginem respectivament H i G (com en l'apartat b)) determinin un trapezi  ABHG.



Nota: tot i que en una definició molt general de polígon es pot ademtre que els costats es tallin entre ells,  en aquest apartat entenem els trapezis com a "polígions simples", en què els costats no es tallen entre ells.
 
Notes: 
  • Cal redactar ben clarament la solució de cada apartat del problema i, tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament  que porti a especificar que  la solució és la indicada. Ja es veu que es demanen uns apartats concrets i uns altres de generalització.  La manera com descriviu la solució pot aportar idees interessants per a valorar.

  • Heu de pensar que aquestes respostes s'envien a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants, però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que l'altre, o amb alguna idea original,  la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li més punts. En aquest sentit podem afegir que  la subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de puntuació "a efectes de desempats".
  • Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (del món de l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.

  • El diccionari defineix  precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague.  Si l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.

  • Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs:   concursosscm@gmail.com