amb el suport de  
Marató de problemes. 2023
Problema 13, problema de 7 punts

Malgrat que la proposta es puntua de 0 a 7 punts, el jurat es reserva la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes i raonaments que ho facin aconsellable

D'aquest problema caldrà enviar la solució raonada de cada apartat.
en un fitxer .PDF. (El format original del document amb  l'explicació pot ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament)

  L'exposició ha de ser raonada amb detall però amb precisió, sense explicacions innecessàries.
En aquest cas podeu donar per sabuda la suma de termes d'una progressió aritmètica

 Aquest concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la resolució de problemes
i, naturalment, tot i que el concurs és individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit.
Ara bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que
la redacció de la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal, individual.

La resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.
Observeu que 13 = 1 i que podem posar els cubs perfectes com a suma de nombres imparells consecutius:
             23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11 ; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 ...
i així successivament.

a)
 Expresseu el nombre  233  com una suma de 23 nombres imparells consecutius  i expliqueu com heu pogut trobar quins són els sumands.
b)
 Demostreu que qualsevol nombre N = n3, on n és un nombre enter positiu, es pot escriure com a suma de n nombres imparells consecutius. Si no els heu indicat en el raonament, expresseu en funció de  n , el primer sumand i l’últim sumand que apareixen en la suma.


Observeu ara que  33 també es pot posar com a suma de 3 múltiples de 3 consecutius, 33 = 6 + 9 +12 .
c) Raoneu que el nombre  93  es pot posar com a suma de 9 múltiples de 3 consecutius.
d) Raoneu que si el nombre  n3 es pot posar com a suma de n múltiples de 3 consecutius, aleshores n ha de ser un múltiple de 3 imparell. 
(Només es demana que raoneu que la condició és necessària)
Notes: 
  • Cal redactar ben clarament la solució de cada apartat del problema i, tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament  que porti a especificar que  la solució és la indicada. Ja es veu que es demanen uns apartats concrets i uns altres de generalització.  La manera com descriviu la solució pot aportar idees interessants per a valorar.

  • Heu de pensar que aquestes respostes s'envien a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants, però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que l'altre, o amb alguna idea original,  la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li més punts. En aquest sentit podem afegir que  la subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de puntuació "a efectes de desempats".
  • Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (del món de l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.

  • El diccionari defineix  precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague.  Si l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.

  • Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs:   concursosscm@gmail.com