amb el suport de  
Marató de problemes. 2022
Problema 14, problema de 8 punts

Malgrat que la proposta es puntua de 0 a 8 punts, el jurtat es reserva la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes i raonaments que ho facin aconsellable

En aquest problema (que es valora finalment amb 8 punts com a darrer problema del concurs)
es proposen tres problemes de càlcul d'una àrea que "completa un polígon" 
a partir de dades conegudes, longituds o altres àrees.

Caldrà enviar la solució raonada de cada apartat.
Exposada amb detall però amb precisió, sense explicacions innecessàries,
i, naturalment,  referenciant o demostrant les propietats que es vulguin fer sevrir i no siguin de coneixement general.

S'ha d'ajuntar un únic fitxer .PDF.
(El format original del document amb  l'explicació pot ser el que vulguis -fins i tot escanejar un escrit a mà- però l'has de passar al format .PDF i vigilar que es llegeixi adequadament)

Aquest concurs vol fomentar l'afició per al treball matemàtic mitjançant la resolució de problemes
i, naturalment, tot i que el concurs és individual, el treball en equip sempre pot tenir un valor afegit.
Ara bé, encara que hi hagi hagut una tasca conjunta, és imprescindible que
la redacció de la solució d'aquesta proposta sigui una tasca personal, individual.

La resposta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.


A) 
Un triangle s'ha descompost en dues parts, un quadrilàter i un triangle,  tal com es veu a la figura.
A la figura s'indiquen les longituds dels segments en què s'han dividit dos costats i també l'àrea del quadrilàter.
(Estan expressades en unitats  coherents (per exemple cm i cm2)
Calculeu el valor de l'àrea del triangle  X, desconeguda.
B)
 En un quadrilàter s'han dibuixat les diagonals i s'ha descompost en quatre triangles.
Coneixem les àrees de tres d'aquests triangles, que s'indiquen a la figura.
Caluleu el valor de l'àrea del triangle  T, desconeguda.
C)
 En l'hexàgon de la figura s'han dibuixat quatre diagonals i fent-ho així s'ha descompost en sis triangles i un quadrilàter.
Coneixem les àrees dels sis triangles, que podeu veure indicades a la figura.
Caluleu el valor de l'àrea  del quadrilàter Q, desconeguda.


Notes: 
  • Cal redactar ben clarament la solució de cada apartat del problema i, tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonamentque porti a especificar que  la solució és la indicada. Ja es veu que es demanen uns apartats concrets i uns altres de generalització, més "teòrics".  La manera com descriviu la solució pot aportar idees interessants per a valorar.
  • Heu de pensar que aquestes respostes s'envien a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants, però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que l'altre, o amb alguna idea original,  la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li més punts. Diguem finalment que  la subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de puntuació "a efectes de desempats".
    • Cada apartat d'aquest problema proposa la recerca d'una àrea a partir de valors coneguts, de distàncies o d'altres àrees. La resolució es pot aconseguir amb recursos elementals (àrea d'un triangle, semblança de triangles, aprofitament de resultats treballats en el problema) i si es fa amb aquestes eines pot ser més valorada que la que faci servir eines més sofisticades. 
    • Si es vol fer servir alguna propietat que no sigui de coneixement general s'haurà de referenciar adequadament o demostrar.-la
  • Cada resposta la valoraran un cert nombre de persones (del món de l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.
  • El diccionari defineix  precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague.  Si l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.

  • Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs:   concursosscm@gmail.com