amb el suport de  
Marató de problemes. 2019
Problema 14. Problema especial, de 7 punts

Malgrat que el problema es puntua de 0 a 7 punts, el jurtat es reserva la possibilitat d'atorgar 1 o 2 dècimes suplementàries per a respostes i raonaments que ho facin aconsellable

D'aquest problema caldrà enviar la solució raonada i explicada amb detall, en un fitxer .PDF.

La repsosta s'haurà d'enviar mitjançant un formulari, que, com és habitual, serà accessible des de la pàgina de l'activitat.

En un triangle acutangle tracem, des de cadascun dels punts mitjans dels costats, les rectes perpendiculars als altres dos costats. Justifiqueu que aquestes sis rectes formen un hexàgon.
Quin és el valor de la raó entre les àrees del triangle i del hexàgon?
Demostreu que el valor d'aquesta raó és constant, és a dir que no depèn de quin sigui el triangle inicial.

Notes: 
  • Cal redactar ben clarament la solució del problema i, tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament que porti a la solució indicada.
      • El diccionari defineix  precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague.  Si l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.
  • Un programa d'ordinador (com es ara el GeoGebra) us pot servir per visualitzar la situació que es planteja en el problema i segur que us pot servirpr deduir el valor de la raó que es demana. Però això només seria mostrar  i aquí es demana  demostrar raonadament.
  • En el cas hipotètic que volguéssiu fer servir un teorema geomètric que no sigui part dels currículums de l'ESO, hauríeu d'indicar-ne ben explícitament la referència de la font on es pot trobar el teorema i, si escau, una demostració (que aleshores no caldria que incloguéssiu).

  • Heu de pensar que aquestes respostes s'envien a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants, però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que l'altre,  la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li més punts. En aquest sentit podem afegir que  la subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de puntuació "a efectes de desempats".
  • Cada problema el valoraran un cert nombre de persones (del món de l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.

  • Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs:   concursosscm@gmail.com