[tornar a la pàgina principal d'Estalmat-Catalunya]

CURS 2004-2005. SOLUCIONS DE MIQUEL VIVAS ALS PROBLEMES A LA WEB (1)    

1.-

• M només pot ser 0 o 1, perquè la suma O+B+A+N ha de ser 10 o 20
• A pot ser 0, 1, 2, 3, 4 o5 perquè el seu valor ha de ser més petit que el de B, T, U i Y
• B pot ser 2, 3, 4, 5 o6 perquè el seu valor ha de ser més petit que el de T, U i Y i més gran que el d'A
• T pot ser 3, 4, 5, 6 o 7 perquè el seu valor ha de ser més petit que el de U i Y i més gran que el d'A, el de B i el de M
• U pot ser 4, 5, 6, 7 o 8 perquè el seu valor ha de ser més petit que el de Y i més gran que el d'A, B, T i M
• Y pot ser 5, 6, 7, 8, 9 perquè el seu valor ha de ser més gran que els d'A, B, T, U i M
• En principi O, N i L no tenen restriccions i poden ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Llavors començo per observar que T + N + Y + U ha de sumar 25 i examino totes les possibilitats.

Després passo a observar que L + O + N + O han de sumar 8, 18 o 28 o bé 9, 19 o 29 ja que hem d'afegir 1 o 2 de la suma anterior i escric totes les possibilitats.

Les primeres que he mirat són aquestes:

cosa que he vist posant un número 9 vegades; a la segona fila tots els números excepte els de la primera fila i a la quarta els mateixos que a la primera; això m'ha permès calcular el número de la tercera fila. Les combinacions vermelles són incorrectes perquè hi ha nombres repetits i les blaves també perquè contenen alhora el 0 i l'1 i en canvi no hi ha la M.

Fent diferents proves i conforntant el valor de N amb les possibilitats d ela suma anterior arribem a la conclusió que la suma correcta, l'única possible és:

1056 + 403 + 239 + 307 = 2005

2.- a) Es tracta que demostreu que si, a partir d'un rectangle ABCD que té 401 unitats d'àrea allargueu els costats, tots cap a la mateixa banda, fins que la longitud s'hagi doblat i uniu els punts resultants, d'aquesta manera construïu un quadrilàter d'àrea 2005 unitats d'àrea.

Calculo les àrees dels quatre triangles BMN, AQM, DPQ i CNP i veig que cada una d'elles és 401. Sumades amb la del rectangle central, que també és 401, dóna 2005.

Per veure que l'àrea de cada triangle és 401 ho faig així, per exemple amb el primer:
Àrea de BMN = 2 CB · BM / 2 = CB · BM = CB · AB = àrea del rectangle central = 401

b) Què passa si la figura central en lloc d'un rectangle és un paral·lelogram d'àrea 401 unitats d'àrea? Dieu la vostra conjectura i demostreu-la.

La conjectura és que l'àrea també és 2005. A partir de la figura, on es veuen dos segments iguals a H1, la demostració la faig així:

Veig que els triangles A'D'D i C'B'B són iguals per angles corresponents entre paral·leles. I llavors l'àrea del triangle A'D'D és 2 · x · H1 / 2 = x · H1 = àrea del paral·lelogram ABCD = 401

Semblantment amb els triangles CD'C' i AA'B'. Tenim doncs quatre triangles de 401 i el paral·lelogram de 401. La suma de les cinc àrees és 2005.

c) Finalment, què passa si la figura central en lloc d'un rectangle és un quadrilàter qualsevol d'àrea 401 unitats d'àrea?

L'àrea de A'B'C'D' també és 2005. Donem l'esquema de la demostració de Miquel Vivas i li fem arribar la més cordial felicitació!!!

• Àrea del triangle A'DD' = 2 · x · H1 / 2 = x · H1
  Però H1 = B1 perquè són perpendiculars traçades sobre la recta AD i la seva prolongació des dels punt C i D' que pertanyen a la mateixa recta D'DC i a més són simètrics o equidistants respecte del punt D.
  Per tant l'àrea del triangle A'DD' = x · B1 = 2 · àrea del triangle ACD.
  
  
• Igualment amb l'àrea del triangle B'BC' = 2 · y· H2 / 2 = y · H2
  Però H2 = B2 pel mateix raonament que abans de perpendiculars traçades sobre una mateixa recta des de punts equidistants.
  Per tant l'àrea del triangle B'BC' = y· B2 = 2 · àrea del triangle ABC.
  
  
• L'àrea del quadrilàter ABCD = 401 = àrea de ABC + àrea de ACD. Per tant es veu que àrea de A'DD' + àrea de B'BC' = 2 · (àrea de ABC + àrea de ACD) = 802.
  
  
• De la mateixa manera però amb unes altres perpendiculars veuríem que àrea de C'CD' + àrea de A'AB' = 2 · (àrea de ABCD) = 802.

I així queda demotsrat que la suma de les àrees dels quatre triangles exteriors més el quadrilàter central és 2005.

3.- Engegueu la calculadora Wiris i escriviu 2005!. Segurament ja sabeu que 2005! és el resultat de multiplicar 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 2003 · 2004 · 2005. Aquest número és molt i molt llarg, però no us preguntem pas quantes xifres té!
Si poseu factoritza(2005!) veureu que comença 2¹⁹⁹⁷·... .Us demanem que expliqueu com es pot raonar que efectivament, en la descomposició en factors primers de 2005! apareixen 1997 factors iguals a 2.
I després que raoneu (a la vista de la descomposició en factors que heu llegit) en quants zeros acaba 2005!

Per raonar que en la descomposició en factors primers de 2005 apareixen 1997 factors iguals a 2, primer deduirem quants múltiples de 2 hi ha de l'1 al 2005; seguidament farem el mateix amb el smúltiples de 4, els de 8, els de 16, els de 32, els de 64, els de 128, els de 256, els de 512 i els de 1024. Un cop tinguem tots els resultats els sumarem i obtindrem el nombre d efactors iguals a 2 que hi ha de l'1 al 2005.

Com que 2005 / 2 = 1002,5 hi ha 1002 nombres parells de l'1 al 2005

Com que 2005 / 4 = 501,25 hi ha 501 mútliples de 4 de l'1 al 2005. Aquests com a mínim contenen un dos al quadrat quan els descomponem en factors primers; tot i això només afegirem un factor igual a 2 perquè un ja l'hem comptat amb els nombres parells, i si ni ha més ja els comptem després)

Continuem deduint els nombre de múltiples de 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 i 1024 i afegim un factor 2 en cada cas per la mateixa raó que hem dit amb els múltiples de 4. Respectivament resulten 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3 i 1.

En acabar ho sumem tot i efectivament veiem que dóna 1997.

Per la segona part del problema l'única manera d'obtenir el 0 al final del número és multiplicant un 2 i un 5. Per això hi haurà tants 0 al final com multiplicacions es puguin fer amb la descomposició en factors primers del 2005!. Com que hi ha 1997 dosos i 500 cincs, agafarem cinc-cents dosos i tots els cincs. Amb això arribem a la conclusió que 2005! acaba en 500 zeros.