Problemes a l'esprint - SCM- edu365
2 de febrer de 2006

Tot seguit comentem algunes idees per a obtenir les solucions i obrim "un fòrum". Si voleu enviar alguna nova solució dels alumnes participants (segur que elles i ells n'han trobar de millors!) no dubteu a enviar-les a esprint@cangur.org i ampliarem el "fons d'idees".

Respostes comentades

• Problemes de la branca d'olivera
  • 1. B. Cal recordar quant sumen els angles d'un polígon. Tots els angles d'un polígon de 12 costats sumen 180º·10, els d'un de 13 sumen 180º·11, els d'un de 14 sumen 180º·12= 2160º, etc. Com que en un polígon còncau tots els angles han de ser més petits de 180º, el polígon ha de ser de 14 costats.
  • 2. E. El total de participants és x + x/2 + x/6 = 10x/6. Perquè cadascun dels sumands x, x/2, x/6 sigui un nombre natural., x ha de ser un múltiple de 6. I llavors el total de participants ha de ser múltiple de 10.
  • 3. E. El radi del sector ha de ser la generatriu del con. La longitud del sector, que és 252·2·10/360 ha de ser la longitud del cercle base del con. Si igualeu l'expressió anterior a 2r veureu que ha de ser r = 7.
  • 4. A. Si poseu William Jones al Google la primera pàgina que apareix a la lista és la de la Universitat de Saint Andrews, una de les webs de més prestigi pel que fa a la història de les matemàtqiues
  • 5. D. Si estudieu el problema veureu que el color roig apareix 2·(1+5+9+13+17+21+25+29+33+37+41)+45 vegades. Aquest valor és K.
    Els altres color apareixen el mateix nombre de vegades, per exemple el verd 2+6+10+14+18+22+26+30+34+38+42+44 (seria "la línia 46, però aquí ja comença a baixar la longitud de les inclinades) + 40+36+32+28+24+20+16+12+8+4. Aquest valor és k. I es compleix que K–k=1.
    
    
• Problemes del colom de la pau
  • 1. C. Com deia l'enunciat aquest és un problema clàssic. Si dos gats es mengen entre tots dos dues rates en dos minuts, cada gat triga 2 minuts a menjar-se una rata. Si hi ha 14 gats, en 14 minuts cadascun menjarà 7 rates i en total 14·7=98.
  • 2. B. N'hi ha prou amb plantejar l'equació 10000 x = 4/x i trobareu que x=0,02.
    
  • 3. D. Com que tots els costats del pentàgon son nombres enters, també ho han de ser els costats del triangle rectangle retallar. Si mireu els nombres que es donen només i penseu en les ternes pitagòriques veureu que només pot ser que la hipotenusa del triangle rectangle sigui 5, i els catets d'aquest triangle rectangle hauran de ser 3 i 4. Per tant a l'esquerra i a la dreta hi han d'anar dos nombres que es diferenciïn en 3, i a baix i a dalt dos nombres que es diferenciïn en 4 (també podria ser a la inversa, però la conclusió seria la mateixa)
    
    L'àrea buscada és la del rectangle menys la del triangle retallat: 49.
  • 4. A. Si f(2x)=4x²-20x+24 = (2x)²-10·(2x)+24 la funció serà f(X)=X²-10X+24. Els valors de X que compleixen f(X)=3 són 6 i 4. Si posem X = z/2 veurem que els corresponents valors de z són 12 i 8, que sumen 20.
    
    

• Reptes
  • 1. 5
    Si pensem em el diagrama d'arbre que explica l'experiència veurem que el nombre de casos possibles és N·(N-1). D'aquests, hi ha N-1 casos favorables (que són les parelles (1,2), (2,3),... (N-1,N). La probabilitat serà (N-1)/(N·(N-1)) = 1/(N-1). Si aquest valor ha de ser el 20%, és a dir 1/5, resulta N = 5.
    2. 6. Vegeu una figura que, sense cap càlcul, mostra que si "entra" al problema el número N, en surt N+1. Es tracta de dividir el segment BE en cinc parts (exactament igual es faria si la raó inicial fos un altre nombre enter) i fer paral·leles al segment DE.
    
    
  • 3. Resposta: 1. Podeu obrir una finestra de la calculadora Wiris i veureu que l'única solució del sistema és x=4, y=-1, que ens dóna x+3y = 1.
    

Els dos darrers reptes (sobre tot l'últim!) i el problema del "rectangle retallat" són els que han enganyat més, si més no en el primer intent. Però ja està bé que alguns reptes facin pensar una mica, veritat que sí?