{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss MS Sans Serif;}{\f3\fmodern Courier New;}{\f4\fmodern Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 System;}}
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\deflang1034\pard\plain\f4\fs20\cf4\b \\Info\plain\f4\fs20\cf2\b \{\}\{\plain\f4\fs20\cf0 XXXVII Olimpiada Matem\'e0tica\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Problemes proposats a la fase catalana\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 Competicions, concursos\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\UseOutlines\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\textNormal\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\nopagenumbers\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Foli\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\BeginComptaFigures\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\def\\PrOutline\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\advance\\Secnum\plain\f4\fs20\cf0  by1\plain\f4\fs20\cf4\b \\Textfalse\\Outline\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0         Problema \plain\f4\fs20\cf4\b \\the\\Secnum\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\advance\\Secnum\plain\f4\fs20\cf0  by-1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Textfalse\\Outline\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Primera sessi\'f3:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf0  to\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf0 88.32truebp
\par                \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 -30pt\plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\ifnum\\pdf\plain\f4\fs20\cf0 =0\plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\special\{\plain\f4\fs20\cf0 em:graph scmlogo/scmlogo.pcx\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\else\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\pdfimage\plain\f4\fs20\cf0  height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\fi\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par                \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\halign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\strut\\hfil\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf4\b \\hfil\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfll\plain\f4\fs20\cf0  XXXVII OLIMP\'cdADA MATEM\'c0TICA \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfl\plain\f4\fs20\cf0  Primera fase (Catalunya) \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf2\b \\sl\plain\f4\fs20\cf0  15 de desembre de 2000, de 16 a 20h.\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 28pt
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f3\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Considerem una circumfer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia de radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i una recta \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 l\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , tangent a la
\par circumfer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia en un punt \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Des d'un punt \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 bil sobre la circumfer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia, tracem
\par la perpendicular a la recta \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 l\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i anomenem \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 Q\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  el punt d'intersecci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de les dues rectes.
\par Determineu l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xima que pot assolir el triangle \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Trobeu nombres enters positius \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ,\plain\f4\fs20\cf4\b \\dots\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tals que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_1+a_2+\plain\f4\fs20\cf4\b \\cdots\plain\f4\fs20\cf0 +a_n=2000\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i el producte \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_1\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  a_2\plain\f4\fs20\cf4\b \\cdots\plain\f4\fs20\cf0  a_n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s gran
\par possible.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Donada una funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , s'anomena \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  punt fix\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tota soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  (real) de l'equaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)=x\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Calculeu, en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  del par\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 metre \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , els punts fixos de les funcions \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 g(x)=f\plain\f4\fs20\cf2\b \\big\plain\f4\fs20\cf0 (f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b \\big\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)=r x (1-x) , x\plain\f4\fs20\cf2\b \\in\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Representeu gr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ficament el conjunt
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\\{\plain\f4\fs20\cf0 (r,x_r)\plain\f4\fs20\cf2\b \\in\plain\f4\fs20\cf0  (0,\plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b \\times\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\big\plain\f4\fs20\cf0 | \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 x_r \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un punt fix de\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 f 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  o de\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 g\plain\f4\fs20\cf4\b \\\}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Busqueu el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nim nombre natural \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n>0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tal que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui un quadrat, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui un cub,
\par i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui una pot\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia setena.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\acabapag\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Textfalse\\Outline\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Segona sessi\'f3:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf0  to\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf0 88.32truebp
\par                \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 -30pt\plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\ifnum\\pdf\plain\f4\fs20\cf0 =0\plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\special\{\plain\f4\fs20\cf0 em:graph scmlogo/scmlogo.pcx\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\else\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\pdfimage\plain\f4\fs20\cf0  height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\fi\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par                \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\halign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\strut\\hfil\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf4\b \\hfil\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfll\plain\f4\fs20\cf0  XXXVII OLIMP\'cdADA MATEM\'c0TICA \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfl\plain\f4\fs20\cf0  Primera fase (Catalunya) \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf2\b \\sl\plain\f4\fs20\cf0  16 de desembre de 2000, de 9 a 13h.\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 30pt
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Tres atletes, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 B\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , competeixen en una s\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rie de proves. Per quedar en primera
\par posici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  en una prova, l'atleta rep \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  punts; per quedar en segona, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  punts; i per quedar en tercera posici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  punts. No hi ha possibilitat d'empat, i els nombres \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n naturals tals que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x>y>z>0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . En acabar, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha acumulat  20 punts, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 B\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  10 punts i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  9 punts. L'atleta \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha quedat segon en la prova de llan\plain\f4\fs20\cf2\b \\c\{\plain\f4\fs20\cf0 c\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ament de pes. Qui ha quedat segon a la prova de carrera curta?
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Hi ha dos triangles rectangles no semblants, cada un dels quals t\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  un costat igual al costat
\par d'un triangle equil\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ter i l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  vegades l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea d'aquest triangle equil\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ter. Qu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  podem dir del nombre \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ?
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par S'anomenen \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  nombres triangulars\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  els nombres naturals \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  de la forma
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par n=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 k(k+1)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 = 1+2+3+\plain\f4\fs20\cf4\b \\cdots\plain\f4\fs20\cf0 +k, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  amb\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 k \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  natural\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Apar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Demostreu que si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un nombre triangular, aleshores \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 9n+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  ho \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s.\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Apar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Determineu els valors dels nombres naturals \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per tal que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 an+b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui triangular sempre que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui triangular.\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Un dip\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sit c\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nic amb el v\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rtex a la part inferior, d'altura \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 h\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i angle en el v\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rtex \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 <\plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s ple d'aigua fins a vessar. S'introdueix al dip\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sit, amb compte, una esfera de radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s densa que l'aigua. Dibuixeu la gr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 fica de la funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  que expressa, en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , el volum d'aigua que es vessar\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par En particular, determineu el valor de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per al qual ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s gran el mullader.
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  Nota:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  El volum d'un casquet esf\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ric (cada una de les parts en qu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  un pla divideix una esfera) \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s igual a
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf0  a^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\left\plain\f4\fs20\cf0 (r-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\right\plain\f4\fs20\cf0 )
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par on \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s el radi de l'esfera i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  l'altura del casquet (\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 0\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  a \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  2r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ).
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\acabapag\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Textfalse\\Outline\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Solucions:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf0  to\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hsize\plain\f4\fs20\cf0 88.32truebp
\par                \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 -30pt\plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\ifnum\\pdf\plain\f4\fs20\cf0 =0\plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\special\{\plain\f4\fs20\cf0 em:graph scmlogo/scmlogo.pcx\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\else\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\pdfimage\plain\f4\fs20\cf0  height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \plain\f4\fs20\cf4\b \\relax\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\fi\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par                \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 
\par       \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\vtop\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\halign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\strut\\hfil\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf4\b \\hfil\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfll\plain\f4\fs20\cf0  XXXVII OLIMP\'cdADA MATEM\'c0TICA \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf4\b \\bfl\plain\f4\fs20\cf0  Primera fase (Catalunya) \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par                         \plain\f4\fs20\cf2\b \\sl\plain\f4\fs20\cf0  15 i 16 de desembre de 2000.\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0 15pt
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\centerline\{\plain\f4\fs20\cf4\b \\bfll\plain\f4\fs20\cf0  Solucions:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Secnum\plain\f4\fs20\cf0 0
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\SSeccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  Soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  1:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig1.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 271truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 254truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig1.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 253truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\SSpar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Sigui \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\angle\plain\f4\fs20\cf0  ROP\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , l'angle central que correspon a l'arc \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 RP\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . El valor de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  determinar\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  la posici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  respecte \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 l\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Segons les condicions del problema \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 0\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  180^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , variant des de la coincid\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  fins a la posici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  diametralment oposada a \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . De fet, fins al valor \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  =90^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea del \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  va creixent, donat que els dos catets creixen. Podem assegurar, per tant, que el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim valor de l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  per a un angle \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 90^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\\le\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0 180^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par En el triangle is\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sceles \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  OPR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tenim
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 PR\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 =r\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ;\plain\f4\fs20\cf4\b \\hskip\plain\f4\fs20\cf0  3mm PR=2r\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par En el triangle rectangle \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , l'angle \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\angle\plain\f4\fs20\cf0  RPQ=\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 /2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ja que \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par semi-inscrit a la circumfer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia i abra\plain\f4\fs20\cf2\b \\c\{\plain\f4\fs20\cf0 c\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 a el mateix arc que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Llavors, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 RQ=PR\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\displaystyle\{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ; 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 PQ=PR\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\displaystyle\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea del
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , tindrem
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 PQ\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  RQ =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 PR^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par i substituint \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 PR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\eqalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par S(\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )&=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 4r^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0 ^2\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par &=r^2\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1-\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r^2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  -\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sin\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Derivant respecte de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  obtenim
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S'(\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r^2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  -\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 ).
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Imposant \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S'(\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , resulta
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 -\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i les solucions a l'interval
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,180^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\\bigr\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 0^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 120^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . La soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =0^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  correspon a l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea nu\plain\f4\fs20\cf2\b \\l\plain\f4\fs20\cf0 \'b7la obtinguda quan \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  coincideixen.
\par La soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =120^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  correspon al valor m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim buscat. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S_\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\max\}\plain\f4\fs20\cf0 =S(120^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\circ\}\plain\f4\fs20\cf0 )=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r^2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 +\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  4\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )=
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 3\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3r^2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  8\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\SSeccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  Soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  2:\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Prenem un sistema de refer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia cartesi\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  amb el punt \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  com a origen
\par i la recta \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 l\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  com a eix d'abscisses. En aquest sistema d'eixos \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 O=(0,r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R=(x,y)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . L'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea del triangle \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xy\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Les coordenades
\par de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  estan lligades per l'equaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de la circumfer\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x^2+(y-r)^2=r^2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . D'aqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par obtenim\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x^2+y^2-2ry=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x=\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 2ry-y^2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Els valors possibles de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  pertanyen a l'interval \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,2r\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . A m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s, podem assegurar que
\par el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim de l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea es produir\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  a l'interval \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 r,2r\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , ja que fins al punt \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 (r,r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  totes
\par dues coordenades creixen i tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  ho far\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par L'expressi\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea del \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\triangle\plain\f4\fs20\cf0  PQR\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S(y)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 2ry-y^2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  amb\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 0\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  y\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  2r.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Derivant respecte de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S'(y)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 y(3r-2y)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 2ry-y^2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par i imposant \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S'(y)=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  obtenim \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=3r/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par La soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  correspon a la coincid\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 R\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i d\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 na l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rea nu\plain\f4\fs20\cf2\b \\l\plain\f4\fs20\cf0 \'b7la; la soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=3r/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  correspondr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  al valor m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 S\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tal com s'ha comentat abans. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  doncs,
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par y_\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\max\}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 3r\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 
\par x_\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\max\}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\{\plain\f4\fs20\cf0 3r\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (2r-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 3r\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2.\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par S_\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\max\}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 3r\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 3\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3r^2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par El problema consisteix a determinar la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  del nombre 2000 tal que el producte dels seus termes sigui el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s gran possible. Donat que el nombre de particions d'un nombre enter en enters positius \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s finit, el nombre de productes associats tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  ho ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  i, entre ells, n'hi haur\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  algun o  alguns de m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s grans.
\par 
\par Raonarem transformant una partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de forma que la suma no canv\plain\f4\fs20\cf4\b \\"\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 i i el producte creixi.
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Npar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Si a la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  apareix un nombre 1, l'afegim a qualsevol altre terme diferent de 1. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  aconseguim una partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  amb un terme menys, de la mateixa suma i de producte superior. Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  cap dels \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_i\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  de la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  desitjada ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Npar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Si un terme qualsevol \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , el substitu\plain\f4\fs20\cf4\b \\"\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 m pels nombres 2 i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j-2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . La suma no canvia i el producte canvia substituint el factor \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2(a_j-2)=2a_j-4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2a_j-4\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  a_j\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sempre que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . La igualtat valdr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  en el cas \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_j=4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sl\plain\f4\fs20\cf0  cap dels \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a_i\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  de la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  que busquem ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  superior a 3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 . \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 E\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s a dir, la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de producte m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim estar\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  formada per 2 i 3 i el producte associat ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de la forma \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2^x\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  3^y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Npar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , cada terna de dosos la podem substituir per un parell de tresos.
\par La suma no canvia, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2+2+2=3+3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , i el producte s'incrementa en un factor \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 9/8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ; \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3^2>2^3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  el producte associat m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de la forma \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2^a\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0 3^b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a=0, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 1, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . En el nostre cas \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2000=3\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  666+2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Llavors el nombre buscat \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n=667\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par estar\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  formada per 666 tresos i un 2 i el producte m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim possible ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 666\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si la suma fos m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ltiple de 3, per exemple 2001, tindr\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 em \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2001=3\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0 667\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , la partici\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  la formarien 667 tresos i el producte m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim seria \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 667\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si la suma fos un m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ltiple de 3 m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s 1, per exemple 2002, sera \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2002=3\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  667+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i escriur\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 em \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2002=3\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  666+3+1=3\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  666+2+2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , i el producte m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim seria \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 666\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0 2^2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Les solucions de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)=rx(1-x)=x\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  que pertanyen a \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x=1-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , i aquesta darrera nom\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Els punts fixos de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 g(x)=f\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )=r^2x(1-x)\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (1-rx(1-x)\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n 0 i les
\par arrels del polinomi
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 1-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 g(x)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  x\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 =r^3x^3-2r^3x^2+r^2(1+r)x-r^2+1
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par que pertanyin a l'interval \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Com que un punt fix de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  ho \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 g(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , el polinomi anterior ha de ser
\par divisible per \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x-\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (1-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i el quocient \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par r^3x^2-r^2(1+r)x+r(1+r).
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Les arrels d'aquest darrer polinomi s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par x_+=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 1+r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 1+r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 +\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 ) \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 
\par x_-=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 1+r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 1+r\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 -\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par que s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n reals nom\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i en aquest cas s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s grans que 0 i menors que 1. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ltim perqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 1+r+\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 (1+r)(r-3)\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 <2r \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  puix que\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 (1+r)(r-3)<(r-1)^2.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par En resum, els punts fixos de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 f(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  a \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n 0 si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 0<r\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  si
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 g(x)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  t\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  a m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s dos punts fixos m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x_+\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x_-\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  que pertanyen a
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 0,1\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par Notem que es compleix
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x(1)=0, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x(3)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x(r) \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s creixent i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\lim\plain\f4\fs20\cf0 _\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\}\\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x(r)=1
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par x_+(3)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 x'_+(r)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r+3-\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r+1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2r^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r+1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 >0,
\par  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\lim\plain\f4\fs20\cf0 _\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\}\plain\f4\fs20\cf0 x_+(r)=1
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par x_-(3)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 x'_-(r)=-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r+3+\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r+1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2r^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r-3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r+1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 <0,
\par  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\lim\plain\f4\fs20\cf0 _\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\}\plain\f4\fs20\cf0 x_-(r)=0
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Tenint en compte tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  que
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\lim\plain\f4\fs20\cf0 _\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf0  3^+\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 x'_+(r)=+\plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\plain\f4\fs20\cf0  , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\lim\plain\f4\fs20\cf0 _\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf0  3^-\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 x'_-(r)=-\plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\plain\f4\fs20\cf0  , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\widehat\plain\f4\fs20\cf0  x<x_+
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par aleshores la representaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  gr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 fica demanada \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig3.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 436truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 223truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig3.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 406truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par El nombre \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de ser de la forma
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n=2^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0 3^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\beta\}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0 7^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\gamma\}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un quadrat, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  2+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un cub, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  3+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n/7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s una pot\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia setena, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  7+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par D'aqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  resulta que
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\vbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\halign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par #     &      #   &  #\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\{\plain\f4\fs20\cf0 21\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 i&\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  2+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0  1mm\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\{\plain\f4\fs20\cf0 14\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 i&\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  3+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\vskip\plain\f4\fs20\cf0  1mm\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\{\plain\f4\fs20\cf0 6\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 i&\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  7+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par i la soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s petita \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =21\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\beta\plain\f4\fs20\cf0 =28\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\gamma\plain\f4\fs20\cf0 =36\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . D'on resulta que
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par n=2^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 21\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0 3^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 28\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\cdot\plain\f4\fs20\cf0 7^\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 36\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par En total s'atorguen \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 20+10+9=39\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  punts. Donat que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x>y>z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i que s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n naturals, com a
\par m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nim s'atorguen \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 1+2+3=6\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  punts a cada prova.
\par 
\par Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  6\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  divideix 39. Com que ens diuen que s'han fet un m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nim de
\par 2 proves, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z\plain\f4\fs20\cf4\b \\ne\plain\f4\fs20\cf0 39\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  nom\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s pot ser 1, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 2, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 13 i com que \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par gran o igual que 6 ha de ser \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z=13\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , la qual cosa implica que s'han fet 3 proves.
\par 
\par Donat que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s segon en el llan\plain\f4\fs20\cf2\b \\c\{\plain\f4\fs20\cf0 c\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ament de pes, una part de la seva puntuaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par Si tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  hagu\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s obtingut un tercer lloc, el m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim que podria haver obtingut seria
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z=13\plain\f4\fs20\cf4\b \\ne\plain\f4\fs20\cf0  20\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , que \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s la seva puntuaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  real. Per tant, la puntuaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de
\par ser \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  o  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+2y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  o \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 2x+y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Com que 3 no divideix 20, no pot ser \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 3y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si fos \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+2y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , llavors \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+2y=x+y+y=20\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z=13\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i tindr\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 em \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y-z=7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Com que
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x>y>z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , seria \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  9\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf0 i \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  17\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  en contradicci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z=13\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par Per tant, ha de ser \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P(A)=2x+y=20\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de ser un nombre parell i com que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y+z=13\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  no pot ser m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s gran o
\par igual que 6, ja que si fos \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  6\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  llavors \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  7\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x+y\plain\f4\fs20\cf2\b \\ge\plain\f4\fs20\cf0  13\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par o \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 z\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de ser 1 i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x=10\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  en aquest cas \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 P(A)=2x+y=2\plain\f4\fs20\cf2\b \\cdot\plain\f4\fs20\cf0  10+2=22\plain\f4\fs20\cf4\b \\ne\plain\f4\fs20\cf0  20\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 y=4\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 x=8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  queda \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 z=1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Tenim llavors la situaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  seg\plain\f4\fs20\cf4\b \\"\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ent
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\def\\tv\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\vrule\plain\f4\fs20\cf0  height 15pt depth 7pt\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\vbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\offinterlineskip\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\halign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #&\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #&\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #&\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #&\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #&\plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 # \plain\f4\fs20\cf2\b \\hfill\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\tv\plain\f4\fs20\cf0 #\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par &\plain\f4\fs20\cf4\b \\hphantom\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 xxxxx\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 &&\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\bf\plain\f4\fs20\cf0  Prova 1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 &&\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\bf\plain\f4\fs20\cf0  Carrera\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 &&\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\bf\plain\f4\fs20\cf0  Pes\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 &&\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\bf\plain\f4\fs20\cf0  Puntuaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par &\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &&8&&8&&4&&20&\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par &\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 B\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &&1&&1&&8&&10&\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par &\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 &&4&&4&&1&&9&\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par &\plain\f4\fs20\cf2\b \{\}\plain\f4\fs20\cf0 &&13&&13&&13&&\plain\f4\fs20\cf2\b \{\}\plain\f4\fs20\cf0 &\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\noalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\hrule\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 A\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de guanyar les altres dues proves, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 B\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  no pot ser (tercer, segon, primer); la
\par seva \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nica possibilitat \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s (tercer, tercer, primer) i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de fer dos segons llocs i
\par un tercer. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s qui queda en segon lloc en la prova esmentada.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par En aquestes condicions hi ha d'haver un triangle amb un catet igual al costat del
\par triangle equil\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ter i un triangle amb la hipotenusa igual al costat del triangle
\par equil\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ter.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig6.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 246truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 122truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig6.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 246truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Spar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Si el triangle equil\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ter t\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  costat \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\ell\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 AB=\plain\f4\fs20\cf2\b \\ell\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , aleshores
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 BC=\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \\ell\plain\f4\fs20\cf0  /2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0   i perqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  existeixi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 C'\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de ser
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\ell\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\ell\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  o sigui\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 E\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s clar que els triangles \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ABC\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ABC'\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0   no s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n semblants.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Apar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n=k(k+1)/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tindrem \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 9k(k+1)/2+1=(9k^2+9k+2)/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Descomponent el
\par polinomi obtenim
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 9n+1=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\biggl\plain\f4\fs20\cf0 (9\plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (k+\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (k+\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b \\biggr\plain\f4\fs20\cf0 )=
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 (3k+1)(3k+2)
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par i el nombre \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 9n+1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s triangular.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Apar\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Suposant \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  triangular anem a veure quines condicions han de complir
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per tal que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 an+b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ho sigui. \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 E\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s a dir, suposant que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 n=k(k+1)/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  imposem
\par que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 an+b=r(r+1)/2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i determinarem les condicions que han de complir \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par per fer possible la igualtat. Tindrem
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par a\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 k(k+1)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 +b=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r(r+1)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \\hbox\plain\f4\fs20\cf2\b \{\{\\rm\plain\f4\fs20\cf0  o b\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\}\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\
\par \plain\f4\fs20\cf0 ak(k+1)+2b=r^2+r.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Obtenim l'equaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de segon grau en \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r^2+r-\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (ak(k+1)+2b\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 (*)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  que
\par haur\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de tenir solucions enteres per a cada valor de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 k\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  nom\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s succeir\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  quan
\par el discriminant de l'equaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  sigui un quadrat perfecte. Ara b\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , el discriminant
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf2\b \\Delta\plain\f4\fs20\cf0  =1+4ak(k+1)+8b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un polinomi de segon grau en \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 k\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i si \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un quadrat perfecte
\par haur\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de ser el d'un cert polinomi de primer grau en \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 k\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Posem \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 1+4ak(k+1)+8b=
\par (sk+t)^2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 s\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  independents de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 k\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Fent operacions i identificant
\par coeficients surt \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 4a=s^2=2st\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 8b+1=t^2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 s=2t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i obtenim en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par a=t^2, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 b=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 t^2-1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  8\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Per tal que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  siguin enters, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 (t^2-1)/8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ha de ser enter. Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s possible
\par sempre que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  sigui un nombre senar, ja que si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t=2m-1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , tenim
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par t^2-1=(2m-1)^2-1=4m^2-4m=4m(m-1)
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par i com que un dels dos nombres \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 m\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  o \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 m-1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s parell, ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t^2-1=\plain\f4\fs20\cf2\b \\dot\plain\f4\fs20\cf0  8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  per a tot \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 
\par senar.
\par 
\par Per tant, si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 t\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s senar, \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a=t^2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b=(t^2-1)/8\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  s\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 n els nombres
\par que faran \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 an+b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  triangular. Per tal de comprovar-ho, trobem
\par l'expressi\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 an+b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  resolent l'equaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 (*)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb els valors de
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 b\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  que acabem de calcular. S'obt\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0  r=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 -1\plain\f4\fs20\cf2\b \\pm\plain\f4\fs20\cf0  (2tk+t)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 
\par 2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0  i l'\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nica soluci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  entera i positiva ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r=tk+\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 (t-1)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0  an+b= \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r(r+1)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2 \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  =
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 ( tk+\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 t-1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 ) \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 ( tk+\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 t+1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 
\par 2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 ). \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PrOutline\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Seccio\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par Indicarem per \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  el volum d'aigua que es vessa en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  del radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  de l'esfera. Cal analitzar els diversos tipus de posicions que pot tenir l'esfera, en funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  del radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ,
\par quan est\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  en contacte amb el recipient c\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 nic.
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\midinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig81.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 191truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 251truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig81.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 191truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\UFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\endinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Si el radi de l'esfera \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s prou petit (\plain\f4\fs20\cf4\b \\figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\UFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ), aquesta quedar\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  totalment submergida en el recipient. Podem augmentar el radi mantenint aquesta situaci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 , fins que l'esfera sigui tangent a la superf\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 cie de l'aigua. El radi corresponent s'ano\plain\f4\fs20\cf4\b \\-\plain\f4\fs20\cf0 me\plain\f4\fs20\cf4\b \\-\plain\f4\fs20\cf0 na\plain\f4\fs20\cf4\b \\-\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\plain\f4\fs20\cf0 =\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r_1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  h-r_1\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf2\b \\Longrightarrow\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0  r_1=h\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  1+\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par En aquest cas l'aigua vessada \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s el volum de l'esfera.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par V(r)= V_1(r) = \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 4\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\pi\plain\f4\fs20\cf0  r^3, \plain\f4\fs20\cf4\b \\ \\ \\ \plain\f4\fs20\cf0 0\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  r \plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  r_1.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Observem que es tracta d'una c\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 bica en \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Si el radi \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s m\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s gran que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , aleshores t\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  una part que queda fora de l'aigua.
\par Cal encara distingir dues situacions diferents: en la primera, l'esfera \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s tangent al
\par recipient (\plain\f4\fs20\cf4\b \\figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\DosFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ), i en la segona, el radi ja \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s prou gran perqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  l'esfera toqui la vora superior del dip\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sit, per\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  no tangencialment (\plain\f4\fs20\cf4\b \\figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\TresFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ). El radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  frontera entre les dues situacions esmentades correspondr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  a una esfera tangent al dip\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sit, amb tang\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ncia justament a la vora superior.
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par r_2=g \plain\f4\fs20\cf2\b \\tan\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  = \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 h\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\\alpha\}\\tan\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 = h \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf2\b \\cos\plain\f4\fs20\cf0 ^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\midinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig82.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 194truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 312truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig82.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 194truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\DosFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\endinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Si el radi \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  de l'esfera est\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  compr\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s entre \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , el volum de l'aigua
\par vessada \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s el volum del casquet esf\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ric submergit. L'altura del casquet submergit \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par a=a(r)= h-b = h- \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0  - r \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 ).
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Aix\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  doncs, el volum d'aigua vessada ser\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par V(r)=V_2(r)= \plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )^2 \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (r- \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a(r)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1<r\plain\f4\fs20\cf2\b \\le\plain\f4\fs20\cf0  r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par El volum vessat finalment resulta
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\hskip\plain\f4\fs20\cf0  -10mm V_2(r)=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\pi\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0 3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\biggl\plain\f4\fs20\cf0 (h-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r(1-\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\\biggr\plain\f4\fs20\cf0 )^2
\par  \plain\f4\fs20\cf2\b \\biggl\plain\f4\fs20\cf0 (\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 r(1+2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0 -h\plain\f4\fs20\cf2\b \\biggr\plain\f4\fs20\cf0 )
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par En aquest cas tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  es tracta d'una funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  c\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 bica de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 .
\par 
\par Com hem dit abans, si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r>r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , l'esfera deixa de ser tangent al con i en aquest cas
\par l'altura del casquet submergit \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\eqalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par a=a(r)&=r - \plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r^2-R^2\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 = \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par &=r - \plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r^2-h^2 \plain\f4\fs20\cf2\b \\tan\plain\f4\fs20\cf0 ^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0 . \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Per tant, el volum d'aigua vessada \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\eqalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par V(r)&=V_3(r)=\plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (a(r)\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (r-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a(r)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )=\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par &=\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\pi\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (r-\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r^2-h^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\tan\plain\f4\fs20\cf0 ^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )^2
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (2r+\plain\f4\fs20\cf2\b \\sqrt\{\plain\f4\fs20\cf0 r^2-h^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\tan\plain\f4\fs20\cf0 ^2\plain\f4\fs20\cf2\b \\alpha\}\\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf4\b \\hskip\plain\f4\fs20\cf0  5mm\plain\f4\fs20\cf2\b \{\}\plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par La funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_3(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  ja no \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s una c\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 bica, com en els casos anteriors. El l\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 mit d'aquesta funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  quan \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf4\b \\to\plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s 0, cosa que es dedueix ape\plain\f4\fs20\cf2\b \\l\plain\f4\fs20\cf0 \'b7lant a la intu\plain\f4\fs20\cf4\b \\"\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 cio f\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 sica, i tamb\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  calculant directament a la f\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 rmula.
\par La funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  est\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  definida en tres trams (\plain\f4\fs20\cf4\b \\figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\QuatreFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 ), tal com hem dit.
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\midinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig83.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 216truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 316truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig83.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 216truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\TresFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\endinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par Al primer, de 0 a \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_1(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s creixent amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Al tercer, de \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  a \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 +\plain\f4\fs20\cf2\b \\infty\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_3(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s decreixent amb \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Per tant, l'extrem, cas que hi sigui, nom\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s cal buscar-lo a l'interval \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 r_1,r_2\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  on la funci\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_2(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 . Derivant l'expressi\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 o\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_2(r)=\plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )^2 \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 (r- \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a(r)\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  3\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 ) \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  resulta
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par V'_2(r)= \plain\f4\fs20\cf2\b \\pi\plain\f4\fs20\cf0  a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (2r-a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )a'(r)+ a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigr\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par que s'anu\plain\f4\fs20\cf2\b \\l\plain\f4\fs20\cf0 \'b7la si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 a(r)=0\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 , \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s a dir, si \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r=h \plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  1-\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0 >r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i queda fora de l'interval \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 r_1,r_2\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 ; o b\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  si
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\eqalign\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 
\par 0&=\plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (2r-a(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 )a'(r)+a(r) = 2 r a'(r) + \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigl\plain\f4\fs20\cf0 (1-a'(r) \plain\f4\fs20\cf2\b \\bigr\plain\f4\fs20\cf0 ) = \plain\f4\fs20\cf4\b \\hskip\plain\f4\fs20\cf0  5mm \plain\f4\fs20\cf4\b \\cr\plain\f4\fs20\cf0 
\par &= \plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \}\\biggl\plain\f4\fs20\cf3\b [\plain\f4\fs20\cf0 r \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigl\plain\f4\fs20\cf0 ( 2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 -1-\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 1\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf2\b \\Bigr\plain\f4\fs20\cf0 )
\par +h \plain\f4\fs20\cf2\b \\biggr\plain\f4\fs20\cf3\b ]\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s a dir, si
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par r=r_c= h\plain\f4\fs20\cf2\b \{\\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf4\b \\over\plain\f4\fs20\cf0  (1-\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )(1+2\plain\f4\fs20\cf2\b \\sin\\alpha\plain\f4\fs20\cf0 )\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 .
\par \plain\f4\fs20\cf2\b\i $$\plain\f4\fs20\cf0 
\par Notem que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_1<r_c<r_2\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  i que \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 r_c\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s un punt de m\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 a\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 xim perqu\plain\f4\fs20\cf4\b \\`\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0  \plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 e\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 s el primer dels dos punts cr\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\i\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 tics d'una c\plain\f4\fs20\cf4\b \\'\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 u\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 bica \plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0 V_2(r)\plain\f4\fs20\cf2\b\i $\plain\f4\fs20\cf0  amb el coeficient del terme de grau tres positiu.
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\midinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PNGDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig84.pdf\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 368truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 388truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\PSDibuix\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf0 fig84.eps\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\plain\f4\fs20\cf0 353truebp\plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\Figura\plain\f4\fs20\cf2\b \{\plain\f4\fs20\cf4\b \\QuatreFigura\plain\f4\fs20\cf2\b \}\{\}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\endinsert\plain\f4\fs20\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b \}\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\EndComptaFigures\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f3\fs20\cf4\b \\acabapag\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf1\i %------------------------------------------------------------------------------------------------\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b \\bye\plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f4\fs20\cf4\b 
\par \plain\f4\fs20\cf0 
\par }
