\Info{}{XXXVII Olimpiada Matemàtica}
{Problemes proposats a la fase catalana}{Competicions, concursos}
\UseOutlines
\textNormal
\nopagenumbers
\Foli
\BeginComptaFigures
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\def\PrOutline{\advance\Secnum by1\Textfalse\Outline{        Problema \the\Secnum}\advance\Secnum %%@
by-1}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\Textfalse\Outline{Primera sessió:}
\hbox to\hsize{$\vtop{\hsize88.32truebp
               \vskip-30pt\hbox{
\ifnum\pdf=0\relax
\special{em:graph scmlogo/scmlogo.pcx}
\else
\pdfimage height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \relax
\fi
}
               }$
      \hfill
      $\vtop{\halign{\strut\hfil#\hfil\cr
                        \bfll XXXVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA \cr\cr
                        \bfl Primera fase (Catalunya) \cr\cr
                        \sl 15 de desembre de 2000, de 16 a 20h.\cr
}}$}
\vskip28pt
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Considerem una circumfer\`{e}ncia de radi $r$ i una recta $l$, tangent a la
circumfer\`{e}ncia en un punt $P$. Des d'un punt $R$, m\`{o}bil sobre la circumfer\`{e}ncia, %%@
tracem
la perpendicular a la recta $l$ i anomenem $Q$ el punt d'intersecci\'{o} de les dues rectes.
Determineu l'\`{a}rea m\`{a}xima que pot assolir el triangle $PQR$.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Trobeu nombres enters positius $n$ i $a_1$, $a_2$,\dots, $a_n$ tals que $a_1+a_2+\cdots+a_n=2000$ %%@
i el producte $a_1\cdot a_2\cdots a_n$ sigui el m\'{e}s gran
possible.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Donada una funci\'{o} $f(x)$, s'anomena {\sl punt fix} de $f$ tota soluci\'{o} (real) de %%@
l'equaci\'{o} $f(x)=x$. Calculeu, en funci\'{o} del par\`{a}metre $r>0$, els punts fixos de les %%@
funcions $f(x)$ i $g(x)=f\big(f(x)\big)$ si $f(x)=r x (1-x) , x\in [0,1]$. Representeu %%@
gr\`{a}ficament el conjunt
$$
\{(r,x_r)\in (0,\infty)\times[0,1]\ \big| \ x_r \ \hbox{{\rm \'{e}s un punt fix de}} \ f 
\hbox{{\rm o de}} \ g\}.
$$
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Busqueu el m\'{\i}nim nombre natural $n>0$ tal que $n/2$ sigui un quadrat, $n/3$ sigui un cub,
i $n/7$ sigui una pot\`{e}ncia setena.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\acabapag
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\Textfalse\Outline{Segona sessió:}
\hbox to\hsize{$\vtop{\hsize88.32truebp
               \vskip-30pt\hbox{
\ifnum\pdf=0\relax
\special{em:graph scmlogo/scmlogo.pcx}
\else
\pdfimage height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \relax
\fi
}
               }$
      \hfill
      $\vtop{\halign{\strut\hfil#\hfil\cr
                        \bfll XXXVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA \cr\cr
                        \bfl Primera fase (Catalunya) \cr\cr
                        \sl 16 de desembre de 2000, de 9 a 13h.\cr
}}$}
\vskip30pt
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Tres atletes, $A$, $B$ i $C$, competeixen en una s\`{e}rie de proves. Per quedar en primera
posici\'{o} en una prova, l'atleta rep $x$ punts; per quedar en segona, $y$ punts; i per quedar %%@
en tercera posici\'{o} $z$ punts. No hi ha possibilitat d'empat, i els nombres $x$, $y$, $z$ %%@
s\'{o}n naturals tals que $x>y>z>0$. En acabar, $A$ ha acumulat  20 punts, $B$ 10 punts i $C$ 9 %%@
punts. L'atleta $A$ ha quedat segon en la prova de llan\c{c}ament de pes. Qui ha quedat segon a %%@
la prova de carrera curta?
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Hi ha dos triangles rectangles no semblants, cada un dels quals t\'{e} un costat igual al costat
d'un triangle equil\`{a}ter i l'\`{a}rea  $\alpha$ vegades l'\`{a}rea d'aquest triangle %%@
equil\`{a}ter. Qu\`{e} podem dir del nombre $\alpha$?
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
S'anomenen {\sl nombres triangulars} els nombres naturals $n$ de la forma
$$
n={k(k+1)\over 2}= 1+2+3+\cdots+k, \ \hbox{{\rm amb}} \ \ k \ \ \hbox{{\rm natural}}.
$$
\Apar{Demostreu que si $n$ \'{e}s un nombre triangular, aleshores $9n+1$ tamb\'{e} ho \'{e}s.}
\Apar{Determineu els valors dels nombres naturals $a$ i $b$ per tal que $an+b$ sigui triangular %%@
sempre que $n$ sigui triangular.}
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Un dip\`{o}sit c\`{o}nic amb el v\`{e}rtex a la part inferior, d'altura $h$ i angle en el %%@
v\`{e}rtex $2\alpha<\pi$, \'{e}s ple d'aigua fins a vessar. S'introdueix al dip\`{o}sit, amb %%@
compte, una esfera de radi $r$ m\'{e}s densa que l'aigua. Dibuixeu la gr\`{a}fica de la %%@
funci\'{o} que expressa, en funci\'{o} de $r>0$, el volum d'aigua que es vessar\`{a}.
En particular, determineu el valor de $r$ per al qual ser\`{a} m\'{e}s gran el mullader.

{\sl Nota:} El volum d'un casquet esf\`{e}ric (cada una de les parts en qu\`{e} un pla divideix %%@
una esfera) \'{e}s igual a
$$
\pi a^2\left(r-{a\over 3}\right)
$$
on $r$ \'{e}s el radi de l'esfera i $a$ l'altura del casquet ($0\le a \le 2r$).
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\acabapag
%------------------------------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\Textfalse\Outline{Solucions:}
\hbox to\hsize{$\vtop{\hsize88.32truebp
               \vskip-30pt\hbox{
\ifnum\pdf=0\relax
\special{em:graph scmlogo/scmlogo.pcx}
\else
\pdfimage height 85.68truebp width 88.32truebp scmlogo/scmlogo.png \relax
\fi
}
               }$
      \hfill
      $\vtop{\halign{\strut\hfil#\hfil\cr
                        \bfll XXXVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA \cr\cr
                        \bfl Primera fase (Catalunya) \cr\cr
                        \sl 15 i 16 de desembre de 2000.\cr
}}$}
\vskip15pt
\centerline{\bfll Solucions:}
\Secnum0
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
\SSeccio{{\sl Soluci\'{o} 1:}
}
\PNGDibuix{fig1.pdf}{271truebp}{254truebp}
\PSDibuix{fig1.eps}{253truebp}
\SSpar{
Sigui $\alpha=\angle ROP$, l'angle central que correspon a l'arc $RP$. El valor de $\alpha$ %%@
determinar\`{a} la posici\'{o} de $R$ respecte $P$ i $l$. Segons les condicions del problema %%@
$0\le \alpha \le 180^{\circ}$, variant des de la coincid\`{e}ncia de $R$ amb $P$ fins a la %%@
posici\'{o} diametralment oposada a $P$. De fet, fins al valor $\alpha =90^{\circ}$, l'\`{a}rea %%@
del $\triangle PQR$ va creixent, donat que els dos catets creixen. Podem assegurar, per tant, que %%@
el m\`{a}xim valor de l'\`{a}rea ser\`{a} per a un angle $90^{\circ}\le\alpha \le180^{\circ}$.

En el triangle is\`{o}sceles $\triangle OPR$ tenim
$$
{PR\over 2}=r\sin {\alpha \over 2};\hskip 3mm PR=2r\sin {\alpha \over 2}.
$$
En el triangle rectangle $\triangle PQR$, l'angle $\angle RPQ=\alpha/2$ ja que \'{e}s
semi-inscrit a la circumfer\`{e}ncia i abra\c{c}a el mateix arc que $\alpha$.

Llavors, $RQ=PR\sin \displaystyle{\alpha \over 2}$; 
$PQ=PR\cos \displaystyle {\alpha \over 2}$. Per tant, si $S$ \'{e}s l'\`{a}rea del
$\triangle PQR$, tindrem
$$
S={1\over 2}PQ\cdot RQ ={1\over 2}PR^2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}
$$
i substituint $PR$
$$
\eqalign{
S(\alpha)&={1\over 2}4r^2\sin^2{\alpha \over 2}\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}=\cr
&=r^2{1-\cos \alpha \over 2}\sin \alpha=
{r^2\over 2}\Bigl(\sin \alpha -{\sin 2\alpha \over 2}\Bigr)\cr
}
$$
Derivant respecte de $\alpha$ obtenim
$$
S'(\alpha)={r^2\over2}(\cos \alpha -\cos 2\alpha).
$$
Imposant $S'(\alpha)=0$, resulta
$\cos \alpha-\cos 2\alpha=0$ i les solucions a l'interval
$\bigl[0,180^{\circ}\bigr]$ s\'{o}n $0^{\circ}$ i $120^{\circ}$. La soluci\'{o}
$\alpha=0^{\circ}$ correspon a l'\`{a}rea nu\l·la obtinguda quan $P$ i $R$ coincideixen.
La soluci\'{o} $\alpha=120^{\circ}$ correspon al valor m\`{a}xim buscat. Aix\'{\i}
$$
S_{\max}=S(120^{\circ})={r^2\over 2}\Bigl({\sqrt 3\over 2}+{\sqrt 3\over 4}\Bigr)=
{3\sqrt 3r^2\over 8}.
$$
}
\SSeccio{{\sl Soluci\'{o} 2:}

Prenem un sistema de refer\`{e}ncia cartesi\`{a} amb el punt $P$ com a origen
i la recta $l$ com a eix d'abscisses. En aquest sistema d'eixos \'{e}s $O=(0,r)$ i
$R=(x,y)$. L'\`{a}rea del triangle $\triangle PQR$ ser\`{a} $S={1\over 2}xy$. Les coordenades
de $R$ estan lligades per l'equaci\'{o} de la circumfer\`{e}ncia, $x^2+(y-r)^2=r^2$. D'aqu\'{\i}
obtenim$x^2+y^2-2ry=0$ i $x=\sqrt{2ry-y^2}$.

Els valors possibles de $y$ pertanyen a l'interval $[0,2r]$. A m\'{e}s, podem assegurar que
el m\`{a}xim de l'\`{a}rea es produir\`{a} a l'interval $[r,2r]$, ja que fins al punt $(r,r)$ %%@
totes
dues coordenades creixen i tamb\'{e} ho far\`{a} l'\`{a}rea $S$.

L'expressi\'{o} de l'\`{a}rea del $\triangle PQR$ en funci\'{o} de $y$ ser\`{a}
$$
S(y)={y\over 2}\sqrt{2ry-y^2} \ \ \hbox{{\rm amb}} \ \ 0\le y\le 2r.
$$

Derivant respecte de $y$
$$
S'(y)={y(3r-2y)\over 2\sqrt{2ry-y^2}}
$$
i imposant $S'(y)=0$ obtenim $y=0$ i $y=3r/2$.

La soluci\'{o} $y=0$ correspon a la coincid\`{e}ncia de $R$ amb $P$ i d\'{o}na l'\`{a}rea %%@
nu\l·la; la soluci\'{o} $y=3r/2$ correspondr\`{a} al valor m\`{a}xim de $S$ tal com s'ha comentat %%@
abans. Aix\'{\i} doncs,
$$
y_{\max}={3r\over 2} \ \ \hbox{{\rm i}} \ 
x_{\max}=\sqrt{{3r\over 2\Bigl(2r-{3r\over 2}\Bigr)}}={r\sqrt 3\over 2.}
$$
$$
S_{\max}={1\over 2}{r\sqrt 3\over 2}{3r\over 2}={3\sqrt 3r^2\over 2}.
$$
}
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
El problema consisteix a determinar la partici\'{o} del nombre 2000 tal que el producte dels seus %%@
termes sigui el m\'{e}s gran possible. Donat que el nombre de particions d'un nombre enter en %%@
enters positius \'{e}s finit, el nombre de productes associats tamb\'{e} ho ser\`{a} i, entre %%@
ells, n'hi haur\`{a} algun o  alguns de m\'{e}s grans.

Raonarem transformant una partici\'{o} de forma que la suma no canv\"{\i}i i el producte creixi.

\Npar{Si a la partici\'{o} apareix un nombre 1, l'afegim a qualsevol altre terme diferent de 1. %%@
Aix\'{\i} aconseguim una partici\'{o} amb un terme menys, de la mateixa suma i de producte %%@
superior. Per tant, {\sl cap dels $a_i$ de la partici\'{o} desitjada ser\`{a} 1}.}

\Npar{Si un terme qualsevol $a_j$ \'{e}s $a_j\ge 4$, el substitu\"{\i}m pels nombres 2 i $a_j-2$. %%@
La suma no canvia i el producte canvia substituint el factor $a_j$ per $2(a_j-2)=2a_j-4$ i $2a_j-%%@
4\ge a_j$ sempre que $a_j\ge 4$. La igualtat valdr\`{a} en el cas $a_j=4$. Per tant, {\sl cap %%@
dels $a_i$ de la partici\'{o} que busquem ser\`{a} superior a 3}. \'{E}s a dir, la partici\'{o} %%@
de producte m\`{a}xim estar\`{a} formada per 2 i 3 i el producte associat ser\`{a} de la forma %%@
$2^x\cdot 3^y$.}

\Npar{Si $x\ge 3$, cada terna de dosos la podem substituir per un parell de tresos.
La suma no canvia, $2+2+2=3+3$, i el producte s'incrementa en un factor $9/8$; $3^2>2^3$.}

Aix\'{\i} el producte associat m\`{a}xim ser\`{a} de la forma $2^a\cdot3^b$ amb $a=0, \ 1, \ 2$. %%@
En el nostre cas $2000=3\cdot 666+2$. Llavors el nombre buscat $n=667$, la partici\'{o}
estar\`{a} formada per 666 tresos i un 2 i el producte m\`{a}xim possible ser\`{a} $3^{666}\cdot %%@
2$.

Si la suma fos m\'{u}ltiple de 3, per exemple 2001, tindr\'{\i}em $2001=3\cdot667$, la %%@
partici\'{o} la formarien 667 tresos i el producte m\`{a}xim seria $3^{667}$.

Si la suma fos un m\'{u}ltiple de 3 m\'{e}s 1, per exemple 2002, sera $2002=3\cdot 667+1$ i %%@
escriur\'{\i}em $2002=3\cdot 666+3+1=3\cdot 666+2+2$, i el producte m\`{a}xim seria %%@
$3^{666}\cdot2^2$.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Les solucions de $f(x)=rx(1-x)=x$ que pertanyen a $[0,1]$ s\'{o}n $0$ i $\widehat x=1-{1\over %%@
r}$, i aquesta darrera nom\'{e}s si $r>1$.

Els punts fixos de $g(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=r^2x(1-x)\bigl(1-rx(1-x)\bigr)$ s\'{o}n 0 i les
arrels del polinomi
$$
1-{g(x)\over x}=r^3x^3-2r^3x^2+r^2(1+r)x-r^2+1
$$
que pertanyin a l'interval $[0,1]$.

Com que un punt fix de $f(x)$ tamb\'{e} ho \'{e}s de $g(x)$, el polinomi anterior ha de ser
divisible per $x-\bigl(1-{1\over r}\bigr)$ i el quocient \'{e}s
$$
r^3x^2-r^2(1+r)x+r(1+r).
$$
Les arrels d'aquest darrer polinomi s\'{o}n
$$
x_+={\sqrt{1+r}\over 2r}\Bigl(\sqrt{1+r}+\sqrt{r-3}\Bigr) \ \ \hbox{{\rm i}} \ 
x_-={\sqrt{1+r}\over 2r}\Bigl(\sqrt{1+r}-\sqrt{r-3}\Bigr)
$$
que s\'{o}n reals nom\'{e}s si $r\ge 3$ i en aquest cas s\'{o}n m\'{e}s grans que 0 i menors que %%@
1. Aix\`{o} \'{u}ltim perqu\`{e}
$$
1+r+\sqrt{(1+r)(r-3)}<2r \ \ \hbox{{\rm puix que}} \ \ (1+r)(r-3)<(r-1)^2.
$$
En resum, els punts fixos de $f(x)$ a $[0,1]$ s\'{o}n 0 si $0<r\le 1$ i $\widehat x$ si
$r>1$. Si $r>3$, $g(x)$ t\'{e} a m\'{e}s dos punts fixos m\'{e}s, $x_+$ i $x_-$ que pertanyen a
$[0,1]$.
Notem que es compleix
$$
\widehat x(1)=0, \ \ \widehat x(3)={2\over 3}, \ \ \widehat x(r) \ 
\hbox{{\rm \'{e}s creixent i}} \ \ 
\lim_{r\to \infty}\widehat x(r)=1
$$
$$
x_+(3)={2\over 3}, \ \ x'_+(r)={r+3-\sqrt{r-3}\sqrt{r+1}\over 2r^2\sqrt{r-3}\sqrt{r+1}}>0,
 \ \ \lim_{r\to \infty}x_+(r)=1
$$
$$
x_-(3)={2\over 3}, \ \ x'_-(r)=-{r+3+\sqrt{r-3}\sqrt{r+1}\over 2r^2\sqrt{r-3}\sqrt{r+1}}<0,
 \ \ \lim_{r\to \infty}x_-(r)=0
$$

Tenint en compte tamb\'{e} que
$$
\lim_{r\to 3^+}x'_+(r)=+\infty , \ \ \lim_{r\to 3^-}x'_-(r)=-\infty , \ \ \hbox{{\rm i}}
 \ \ \widehat x<x_+
$$
aleshores la representaci\'{o} gr\`{a}fica demanada \'{e}s

\PNGDibuix{fig3.pdf}{436truebp}{223truebp}
\PSDibuix{fig3.eps}{406truebp}
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
El nombre $n$ ha de ser de la forma
$n=2^{\alpha}\cdot3^{\beta}\cdot7^{\gamma}$.

Si $n/2$ \'{e}s un quadrat, $\alpha=\dot 2+1$, \ $\beta=\dot 2$, \ $\gamma=\dot 2$.

Si $n/3$ \'{e}s un cub, $\alpha=\dot 3$, \ $\beta=\dot 3+1$, \ $\gamma=\dot 3$.

Si $n/7$ \'{e}s una pot\`{e}ncia setena, $\alpha=\dot 7$, \ $\beta=\dot 7$, \
$\gamma=\dot 7+1$.

D'aqu\'{\i} resulta que
$$
\vbox{\halign{
#     &      #   &  #\cr
$\alpha=\dot{21}$&\ i&\ $\alpha=\dot 2+1$\cr
\noalign{\vskip 1mm}
$\beta=\dot{14}$&\ i&\ $\beta=\dot 3+1$\cr
\noalign{\vskip 1mm}
$\gamma=\dot{6}$&\ i&\ $\gamma=\dot 7+1$\cr
}}
$$
i la soluci\'{o} m\'{e}s petita \'{e}s $\alpha=21$, \ $\beta=28$, \ $\gamma=36$. D'on resulta que
$$
n=2^{21}\cdot3^{28}\cdot7^{36}
$$
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
En total s'atorguen $20+10+9=39$ punts. Donat que $x>y>z$ i que s\'{o}n naturals, com a
m\'{\i}nim s'atorguen $1+2+3=6$ punts a cada prova.

Aix\'{\i}, $x+y+z\ge 6$ i $x+y+z$ divideix 39. Com que ens diuen que s'han fet un m\'{\i}nim de
2 proves, $x+y+z\ne39$. Per tant, $x+y+z$ nom\'{e}s pot ser 1, \ 2, \ 13 i com que \'{e}s m\'{e}s
gran o igual que 6 ha de ser $x+y+z=13$, la qual cosa implica que s'han fet 3 proves.

Donat que $A$ \'{e}s segon en el llan\c{c}ament de pes, una part de la seva puntuaci\'{o} \'{e}s %%@
$y$.
Si tamb\'{e} hagu\'{e}s obtingut un tercer lloc, el m\`{a}xim que podria haver obtingut seria
$x+y+z=13\ne 20$, que \'{e}s la seva puntuaci\'{o} real. Per tant, la puntuaci\'{o} de $A$ ha de
ser $3y$ o  $x+2y$ o $2x+y$. Com que 3 no divideix 20, no pot ser $3y$.

Si fos $x+2y$, llavors $x+2y=x+y+y=20$ per\`{o} $x+y+z=13$ i tindr\'{\i}em $y-z=7$. Com que
$x>y>z$, seria $y\ge 8$, \ $x\ge 9$ \ i \ $x+y\ge 17$ en contradicci\'{o} amb $x+y+z=13$.
Per tant, ha de ser $P(A)=2x+y=20$.

Aix\'{\i} $y$ ha de ser un nombre parell i com que $x+y+z=13$, $y$ no pot ser m\'{e}s gran o
igual que 6, ja que si fos $y\ge 6$ llavors $x\ge 7$ i $x+y\ge 13$. Per tant, $y=2$
o $y=4$.

Si $y=2$, $z$ ha de ser 1 i $x=10$ per\`{o} en aquest cas $P(A)=2x+y=2\cdot 10+2=22\ne 20$.
Per tant, $y=4$ i $x=8$. Aix\'{\i} queda $z=1$.

Tenim llavors la situaci\'{o} seg\"{u}ent
\def\tv{\vrule height 15pt depth 7pt}
$$
\vbox{\offinterlineskip
\halign{\tv#&\hfill#\hfill&\tv#&\hfill#\hfill&\tv#&\hfill#\hfill&\tv#&\hfill#\hfill&\tv#&\hfill# %%@
\hfill&\tv#\cr
\noalign{\hrule}
&\hphantom{xxxxx}&&{ \ {\bf Prova 1} \ }&&{ \ {\bf Carrera} \ }&&{ \ \ \ \ {\bf Pes} \ \ \ \ }&&{ %%@
\ {\bf Puntuaci\'{o}} \ }&\cr
\noalign{\hrule}
&$A$&&8&&8&&4&&20&\cr
\noalign{\hrule}
&$B$&&1&&1&&8&&10&\cr
\noalign{\hrule}
&$C$&&4&&4&&1&&9&\cr
\noalign{\hrule}
&{}&&13&&13&&13&&{}&\cr
\noalign{\hrule}
}}
$$
$A$ ha de guanyar les altres dues proves, $B$ no pot ser (tercer, segon, primer); la
seva \'{u}nica possibilitat \'{e}s (tercer, tercer, primer) i $C$ ha de fer dos segons llocs i
un tercer. Aix\'{\i} $C$ \'{e}s qui queda en segon lloc en la prova esmentada.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
En aquestes condicions hi ha d'haver un triangle amb un catet igual al costat del
triangle equil\`{a}ter i un triangle amb la hipotenusa igual al costat del triangle
equil\`{a}ter.
}
\PNGDibuix{fig6.pdf}{246truebp}{122truebp}
\PSDibuix{fig6.eps}{246truebp}
\Spar{
Si el triangle equil\`{a}ter t\'{e} costat $\ell$ i $AB=\ell$, aleshores
$BC=\alpha \sqrt 3\ell /2$  i perqu\`{e} existeixi $C'$ ha de ser
$$
{\alpha \sqrt 3\over 2}\ell \le {\ell \over 2} \ \ \ \hbox{{\rm o sigui}} \ \ \
\alpha \le {1\over \sqrt 3}.
$$

\'{E}s clar que els triangles $ABC$ i $ABC'$  no s\'{o}n semblants.
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
\Apar{
Si $n=k(k+1)/2$ tindrem $9k(k+1)/2+1=(9k^2+9k+2)/2$. Descomponent el
polinomi obtenim
$$
9n+1={1\over 2}\biggl(9\Bigl(k+{1\over 3}\Bigr)\Bigl(k+{2\over 3}\Bigr)\biggr)=
{1\over 2}(3k+1)(3k+2)
$$
i el nombre $9n+1$ tamb\'{e} \'{e}s triangular.
}
\Apar{
Suposant $n$ triangular anem a veure quines condicions han de complir
$a$ i $b$ per tal que $an+b$ ho sigui. \'{E}s a dir, suposant que $n=k(k+1)/2$ imposem
que $an+b=r(r+1)/2$ i determinarem les condicions que han de complir $a$, $b$ i $r$
per fer possible la igualtat. Tindrem
$$
a{k(k+1)\over 2}+b={r(r+1)\over 2} \ \ \ \hbox{{\rm o b\'{e}}} \ \ \
ak(k+1)+2b=r^2+r.
$$

Obtenim l'equaci\'{o} de segon grau en $r$, $r^2+r-\bigl(ak(k+1)+2b\bigr)=0$ $(*)$ que
haur\`{a} de tenir solucions enteres per a cada valor de $k$. Aix\`{o} nom\'{e}s succeir\`{a} %%@
quan
el discriminant de l'equaci\'{o} sigui un quadrat perfecte. Ara b\'{e}, el discriminant
$\Delta =1+4ak(k+1)+8b$ \'{e}s un polinomi de segon grau en $k$ i si \'{e}s un quadrat perfecte
haur\`{a} de ser el d'un cert polinomi de primer grau en $k$. Posem $1+4ak(k+1)+8b=
(sk+t)^2$ amb $s$ i $t$ independents de $k$. Fent operacions i identificant
coeficients surt $4a=s^2=2st$ i $8b+1=t^2$. Per tant, $s=2t$ i obtenim en funci\'{o} de $t$
$$
a=t^2, \ \ \ b={t^2-1\over 8}.
$$

Per tal que $a$ i $b$ siguin enters, $(t^2-1)/8$ ha de ser enter. Aix\`{o} \'{e}s possible
sempre que $t$ sigui un nombre senar, ja que si $t=2m-1$, tenim
$$
t^2-1=(2m-1)^2-1=4m^2-4m=4m(m-1)
$$
i com que un dels dos nombres $m$ o $m-1$ \'{e}s parell, ser\`{a} $t^2-1=\dot 8$ per a tot $t$
senar.

Per tant, si $t$ \'{e}s senar, $a=t^2$ i $b=(t^2-1)/8$ s\'{o}n els nombres
que faran $an+b$ triangular. Per tal de comprovar-ho, trobem
l'expressi\'{o} de $an+b$ resolent l'equaci\'{o} $(*)$ amb els valors de
$a$ i $b$ que acabem de calcular. S'obt\'{e} $$ r={-1\pm (2tk+t)\over
2} $$ i l'\'{u}nica soluci\'{o} entera i positiva ser\`{a}
$r=tk+{(t-1)\over2}$. Aix\'{\i}, $$ an+b= {r(r+1)\over 2 } =
{1\over2}\Bigl( tk+{t-1\over 2}\Bigr) \Bigl( tk+{t+1\over
2}\Bigr). $$
}
}
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\PrOutline
\Seccio{
Indicarem per $V(r)$ el volum d'aigua que es vessa en funci\'{o} del radi $r$ de l'esfera. Cal %%@
analitzar els diversos tipus de posicions que pot tenir l'esfera, en funci\'{o} del radi $r$,
quan est\`{a} en contacte amb el recipient c\`{o}nic.

\midinsert
\PNGDibuix{fig81.pdf}{191truebp}{251truebp}
\PSDibuix{fig81.eps}{191truebp}
\Figura{\UFigura}{}
\endinsert

Si el radi de l'esfera \'{e}s prou petit (\figura{\UFigura}), aquesta quedar\`{a} totalment %%@
submergida en el recipient. Podem augmentar el radi mantenint aquesta situaci\'{o}, fins que %%@
l'esfera sigui tangent a la superf\'{\i}cie de l'aigua. El radi corresponent s'ano\-me\-na\-%%@
r\`{a} $r_1$.
$$
\sin \alpha={r_1\over h-r_1}\ \ \Longrightarrow \ \  r_1=h{\sin\alpha\over 1+\sin\alpha}.
$$
En aquest cas l'aigua vessada \'{e}s el volum de l'esfera.
$$
V(r)= V_1(r) = {4\over 3}\pi r^3, \ \ \ 0\le r \le r_1.
$$
Observem que es tracta d'una c\'{u}bica en $r$.

Si el radi \'{e}s m\'{e}s gran que $r_1$, aleshores t\'{e} una part que queda fora de l'aigua.
Cal encara distingir dues situacions diferents: en la primera, l'esfera \'{e}s tangent al
recipient (\figura{\DosFigura}), i en la segona, el radi ja \'{e}s prou gran perqu\`{e} l'esfera %%@
toqui la vora superior del dip\`{o}sit, per\`{o} no tangencialment (\figura{\TresFigura}). El %%@
radi $r_2$ frontera entre les dues situacions esmentades correspondr\`{a} a una esfera tangent al %%@
dip\`{o}sit, amb tang\`{e}ncia justament a la vora superior.
$$
r_2=g \tan\alpha = {h\over \cos\alpha}\tan\alpha= h {\sin\alpha\over\cos^2\alpha}
$$

\midinsert
\PNGDibuix{fig82.pdf}{194truebp}{312truebp}
\PSDibuix{fig82.eps}{194truebp}
\Figura{\DosFigura}{}
\endinsert

Si el radi $r$ de l'esfera est\`{a} compr\`{e}s entre $r_1$ i $r_2$, el volum de l'aigua
vessada \'{e}s el volum del casquet esf\`{e}ric submergit. L'altura del casquet submergit \'{e}s
$$
a=a(r)= h-b = h- \Bigl({r\over \sin\alpha} - r \Bigr).
$$
Aix\'{\i} doncs, el volum d'aigua vessada ser\`{a}
$$
V(r)=V_2(r)= \pi \bigl(a(r) \bigr)^2 \Bigl(r- {a(r)\over 3} \Bigr)
$$
si $r_1<r\le r_2$.

El volum vessat finalment resulta
$$
\hskip -10mm V_2(r)={\pi\over3}\biggl(h-{r(1-\sin\alpha)\over\sin\alpha}\biggr)^2
 \biggl({r(1+2\sin\alpha)\over\sin\alpha}-h\biggr)
$$
En aquest cas tamb\'{e} es tracta d'una funci\'{o} c\'{u}bica de $r$.

Com hem dit abans, si $r>r_2$, l'esfera deixa de ser tangent al con i en aquest cas
l'altura del casquet submergit \'{e}s
$$
\eqalign{
a=a(r)&=r - \sqrt{r^2-R^2}= \cr
&=r - \sqrt{r^2-h^2 \tan^2\alpha}. \cr
}
$$
Per tant, el volum d'aigua vessada \'{e}s
$$
\eqalign{
V(r)&=V_3(r)=\pi \bigl(a(r)\bigr)^2\Bigl(r-{a(r)\over 3}\Bigr)=\cr
&={\pi\over 3}\Bigl(r-\sqrt{r^2-h^2\tan^2\alpha}\Bigr)^2
\Bigl(2r+\sqrt{r^2-h^2\tan^2\alpha}\Bigr)\hskip 5mm{}\cr
}
$$
La funci\'{o} $V_3(r)$ ja no \'{e}s una c\'{u}bica, com en els casos anteriors. El l\'{\i}mit %%@
d'aquesta funci\'{o} quan $r\to\infty$ \'{e}s 0, cosa que es dedueix ape\l·lant a la %%@
intu\"{\i}cio f\'{\i}sica, i tamb\'{e} calculant directament a la f\'{o}rmula.
La funci\'{o} $V(r)$ est\`{a} definida en tres trams (\figura{\QuatreFigura}), tal com hem dit.

\midinsert
\PNGDibuix{fig83.pdf}{216truebp}{316truebp}
\PSDibuix{fig83.eps}{216truebp}
\Figura{\TresFigura}{}
\endinsert

Al primer, de 0 a $r_1$, $V_1(r)$ \'{e}s creixent amb $r$. Al tercer, de $r_2$ a $+\infty$, %%@
$V_3(r)$ \'{e}s decreixent amb $r$. Per tant, l'extrem, cas que hi sigui, nom\'{e}s cal buscar-lo %%@
a l'interval $[r_1,r_2]$ on la funci\'{o} \'{e}s $V_2(r)$. Derivant l'expressi\'{o} $V_2(r)=\pi %%@
\bigl(a(r) \bigr)^2 \Bigl(r- {a(r)\over 3} \Bigr) $ resulta
$$
V'_2(r)= \pi a(r) \Bigl[\bigl(2r-a(r) \bigr)a'(r)+ a(r) \Bigr]
$$
que s'anu\l·la si $a(r)=0$, \'{e}s a dir, si $r=h {\sin\alpha \over 1-\sin\alpha}>r_2$ i queda %%@
fora de l'interval $[r_1,r_2]$; o b\'{e} si
$$
\eqalign{
0&=\bigl(2r-a(r) \bigr)a'(r)+a(r) = 2 r a'(r) + \bigl(1-a'(r) \bigr) = \hskip 5mm \cr
&= {1\over \sin\alpha }\biggl[r \Bigl( 2\sin\alpha-1-{1\over \sin\alpha} \Bigr)
+h \biggr]
}
$$
\'{e}s a dir, si
$$
r=r_c= h{\sin\alpha\over (1-\sin\alpha)(1+2\sin\alpha)}.
$$
Notem que $r_1<r_c<r_2$ i que $r_c$ \'{e}s un punt de m\`{a}xim perqu\`{e} \'{e}s el primer dels %%@
dos punts cr\'{\i}tics d'una c\'{u}bica $V_2(r)$ amb el coeficient del terme de grau tres %%@
positiu.

\midinsert
\PNGDibuix{fig84.pdf}{368truebp}{388truebp}
\PSDibuix{fig84.eps}{353truebp}
\Figura{\QuatreFigura}{}
\endinsert

}
\EndComptaFigures
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\acabapag
%------------------------------------------------------------------------------------------------
\bye

